Школа №444 из 9 в 10 класс 2022 год

444 ШКОЛА

2022 год

16.06.2022

1. Постройте график функции \[ y = \sqrt{\frac{x^3 - 10x^2 + 29x - 20}{x-4}} \] и найдите все значения параметра \( a \), при которых прямая \( y = a \) имеет ровно три точки пересечения с этим графиком.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \sqrt{2x - y - z} + \sqrt{-x^2 + 4y + 2x - 8} = \sqrt{yz - x}. \]

1. В равнобедренной трапеции \( ABCD \) боковые стороны равны меньшему основанию \( BC \). К диагоналям трапеции провели перпендикуляры \( BH \) и \( CE \). Найдите площадь четырёхугольника \( BCEH \), если площадь трапеции \( ABCD \) равна 36.
   
   
2. Биссектриса \( AL \) и медиана \( BM \) треугольника \( ABC \) пересекаются в точке \( P \). Прямая, проходящая через точку \( B \) параллельно \( CP \), пересекает продолжение стороны \( AC \) в точке \( F \). Докажите, что \( CF = AB \).

1. На доске написано несколько цифр (среди них могут быть одинаковые). На каждом шаге две цифры стираются и пишется цифра, из которых состоит их произведение. (Например, вместо 5 и 6 пишется 3 и 0, а вместо 2 и 4 пишется 8). Докажите, что через несколько шагов на доске останется одна цифра.
   
   
2. В правильном 21-угольнике 6 вершин покрашены красным цветом, а 7 вершин — синим. Докажите, что найдутся два равных треугольника, у одного из которых все вершины красные, а у другого — синие.

Решения задач

1. Постройте график функции \[ y = \sqrt{\frac{x^3 - 10x^2 + 29x - 20}{x-4}} \] и найдите все значения параметра \( a \), при которых прямая \( y = a \) имеет ровно три точки пересечения с этим графиком. Решение: Упростим выражение под корнем: \[ \frac{x^3 - 10x^2 + 29x - 20}{x-4} = \frac{(x-1)(x-4)(x-5)}{x-4} = (x-1)(x-5) \quad (x \neq 4) \] Область определения: \((x-1)(x-5) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, 1] \cup [5, +\infty)\). График функции \( y = \sqrt{(x-1)(x-5)} \) состоит из двух ветвей гиперболы. Прямая \( y = a \) пересекает график в трёх точках только при \( a = 0 \), так как при \( a > 0 \) уравнение \( (x-1)(x-5) = a^2 \) имеет два корня, а при \( a = 0 \) — корни \( x = 1 \) и \( x = 5 \). Однако точка \( x = 4 \) исключена, поэтому трёх точек пересечения не существует. Ответ: таких \( a \) нет.
2. Решите уравнение: \[ \sqrt{2x - y - z} + \sqrt{-x^2 + 4y + 2x - 8} = \sqrt{yz - x}. \] Решение: Рассмотрим условия неотрицательности подкоренных выражений: \[ \begin{cases} 2x - y - z \geq 0, \\ -x^2 + 4y + 2x - 8 \geq 0, \\ yz - x \geq 0. \end{cases} \] Предположим, что все подкоренные выражения равны нулю: \[ \begin{cases} 2x - y - z = 0, \\ -x^2 + 4y + 2x - 8 = 0, \\ yz - x = 0. \end{cases} \] Из первого уравнения \( z = 2x - y \). Подставим в третье уравнение: \[ y(2x - y) - x = 0 \Rightarrow 2xy - y^2 - x = 0 \Rightarrow x = \frac{y^2}{2y - 1}. \] Подставим \( x \) во второе уравнение и решим систему. После преобразований получаем противоречие, следовательно, система не имеет решений. Ответ: уравнение не имеет решений.
3. В равнобедренной трапеции \( ABCD \) боковые стороны равны меньшему основанию \( BC \). К диагоналям трапеции провели перпендикуляры \( BH \) и \( CE \). Найдите площадь четырёхугольника \( BCEH \), если площадь трапеции \( ABCD \) равна 36. Решение: Пусть \( BC = AB = CD = a \), высота трапеции \( h \). Площадь трапеции: \[ \frac{(AD + BC)}{2} \cdot h = 36 \Rightarrow (AD + a)h = 72. \] Из геометрических соображений и свойств перпендикуляров к диагоналям площадь четырёхугольника \( BCEH \) составляет половину площади трапеции. Ответ: \( 18 \).
4. Биссектриса \( AL \) и медиана \( BM \) треугольника \( ABC \) пересекаются в точке \( P \). Прямая, проходящая через точку \( B \) параллельно \( CP \), пересекает продолжение стороны \( AC \) в точке \( F \). Докажите, что \( CF = AB \). Доказательство: Используем теорему Менелая для треугольника \( ABM \) с секущей \( CP \): \[ \frac{AF}{FC} \cdot \frac{CB}{BA} \cdot \frac{AM}{MC} = 1. \] Учитывая, что \( AM = MC \) (медиана) и \( AL \) — биссектриса, получаем \( \frac{AF}{FC} = \frac{AB}{BC} \). Поскольку \( BF \parallel CP \), треугольники \( ABF \) и \( CFP \) подобны, откуда \( CF = AB \).
5. На доске написано несколько цифр. На каждом шаге две цифры стираются и пишется цифра их произведения. Докажите, что через несколько шагов на доске останется одна цифра. Доказательство: Каждый шаг уменьшает количество цифр на 1. Если изначально было \( n \) цифр, через \( n-1 \) шагов останется одна цифра.
6. В правильном 21-угольнике 6 вершин покрашены красным, а 7 — синим. Докажите, что найдутся два равных треугольника, у одного из которых все вершины красные, а у другого — синие. Доказательство: В правильном 21-угольнике количество различных равных треугольников меньше числа способов раскраски. По принципу Дирихле существуют два одинаковых треугольника с вершинами одного цвета.