8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №444 из 9 в 10 класс 2022 год

Сложность:
Дата экзамена: 2022
Сложность:
Дата экзамена: 2022
youit.school ©

444 ШКОЛА


2022 год



  1. Известно, что \[ \frac{4}{75} = \frac{a + b}{ab}. \] Найти значение выражения: \[ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - ab + b^2}. \]

  2. Упростить: \[ \sqrt{31628}. \]

  3. Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения: \[ x^2 - 5x - 10 = 0. \] Не находя \( x_1 \) и \( x_2 \), составьте квадратное уравнение, корнями которого являются \[ \frac{x_1 + 1}{x_1}, \quad \frac{x_2 + 1}{x_2}. \]

  4. Сплавили два слитка, содержащие 64% и 84% цинка. Получился сплав массой 50 г, содержащий 76% цинка. Найти массу каждого из исходных слитков.

  5. Найдите сумму всех натуральных двузначных чисел, кратных 3, но не кратных 7.

  6. Решите уравнение: \[ x^2 + 6x = 0. \]

  7. При каких значениях \( a \) система уравнений \[ \begin{cases} y + x = 4 \\ 2x - x^2 - 4 = a \end{cases} \] имеет ровно одно решение?

  8. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону на отрезки 10 и 14.

  9. Найдите площадь равнобокой трапеции, диагональ которой равна 28 и составляет угол \( 45^\circ \) с основанием.

  10. В треугольнике \( ABC \) угол \( C \) прямой, \( CD \) — высота. Один из катетов вдвое больше другого. В треугольниках \( ACD \) и \( BCD \) проведены биссектрисы \( DK \) и \( DP \) соответственно, \( KP = 4 \). Найдите площадь треугольника \( ABC \).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Известно, что \[ \frac{4}{75} = \frac{a + b}{ab}. \] Найти значение выражения: \[ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - ab + b^2}. \] Решение: Преобразуем исходное уравнение: \[ \frac{a + b}{ab} = \frac{4}{75} \implies 4ab = 75(a + b). \] Пусть \( S = a + b \), \( P = ab \). Тогда \( 4P = 75S \implies P = \frac{75}{4}S \). Выразим искомое выражение через \( S \) и \( P \): \[ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - ab + b^2} = \frac{S^2 - 2P}{S^2 - 3P} = \frac{S^2 - 2 \cdot \frac{75}{4}S}{S^2 - 3 \cdot \frac{75}{4}S} = \frac{S - \frac{150}{4}}{S - \frac{225}{4}} = \frac{S - 37.5}{S - 56.25}. \] Подставим \( S = 100 \) (пример из частного случая \( a = 25 \), \( b = 75 \)): \[ \frac{100 - 37.5}{100 - 56.25} = \frac{62.5}{43.75} = \frac{10}{7}. \] Ответ: \(\frac{10}{7}\).

  2. Упростить: \[ \sqrt{31628}. \] Решение: Разложим число на множители: \[ 31628 = 4 \cdot 7907. \] Поскольку 7907 — простое число, упрощение невозможно: \[ \sqrt{31628} = \sqrt{4 \cdot 7907} = 2\sqrt{7907}. \] Ответ: \(2\sqrt{7907}\).

  3. Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения: \[ x^2 - 5x - 10 = 0. \] Составить квадратное уравнение, корнями которого являются \[ \frac{x_1 + 1}{x_1}, \quad \frac{x_2 + 1}{x_2}. \] Решение: По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 5, \quad x_1 x_2 = -10. \] Сумма новых корней: \[ \frac{x_1 + 1}{x_1} + \frac{x_2 + 1}{x_2} = 2 + \left(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\right) = 2 + \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = 2 + \frac{5}{-10} = \frac{3}{2}. \] Произведение новых корней: \[ \frac{x_1 + 1}{x_1} \cdot \frac{x_2 + 1}{x_2} = 1 + \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_1 x_2} = 1 + \frac{5}{-10} + \frac{1}{-10} = \frac{2}{5}. \] Уравнение: \[ y^2 - \frac{3}{2}y + \frac{2}{5} = 0 \implies 10y^2 - 15y + 4 = 0. \] Ответ: \(10y^2 - 15y + 4 = 0\).

  4. Сплавили два слитка, содержащие 64% и 84% цинка. Получился сплав массой 50 г, содержащий 76% цинка. Найти массу каждого из исходных слитков. Решение: Пусть масса первого слитка \( x \) г, второго \( y \) г: \[ \begin{cases} x + y = 50, \\ 0.64x + 0.84y = 38. \end{cases} \] Решая систему: \[ 0.64x + 0.84(50 - x) = 38 \implies 0.2x = 4 \implies x = 20, \quad y = 30. \] Ответ: 20 г и 30 г.

  5. Найдите сумму всех натуральных двузначных чисел, кратных 3, но не кратных 7. Решение: Двузначные числа, кратные 3: \( 12, 15, \ldots, 99 \). Их сумма: \[ S = \frac{30(12 + 99)}{2} = 1665. \] Исключим числа, кратные 21: \( 21, 42, 63, 84 \). Их сумма: \[ 21 + 42 + 63 + 84 = 210. \] Итоговая сумма: \[ 1665 - 210 = 1455. \] Ответ: 1455.

  6. Решите уравнение: \[ x^2 + 6x = 0. \] Решение: \[ x(x + 6) = 0 \implies x = 0 \text{ или } x = -6. \] Ответ: 0 и -6.

  7. При каких значениях \( a \) система уравнений \[ \begin{cases} y + x = 4 \\ 2x - x^2 - 4 = a \end{cases} \] имеет ровно одно решение? Решение: Подставим \( y = 4 - x \) во второе уравнение: \[ 2x - x^2 - 4 = a \implies -x^2 + 2x - (4 + a) = 0. \] Дискриминант: \[ D = 4 - 4(-1)(-4 - a) = -12 - 4a. \] Условие \( D = 0 \): \[ -12 - 4a = 0 \implies a = -3. \] Ответ: \( a = -3 \).

  8. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону на отрезки 10 и 14. Решение: Пусть сторона параллелограмма \( AB = a \), \( AD = b \). По свойству биссектрисы: \[ \frac{AB}{AD} = \frac{BK}{KC} \implies \frac{a}{b} = \frac{10}{14} \implies a = \frac{10}{14}b. \] Периметр: \[ P = 2(a + b) = 2\left(\frac{10}{14}b + b\right) = 2 \cdot \frac{24}{14}b = \frac{24}{7} \cdot 24 = \frac{576}{7}. \] Ответ: \(\frac{576}{7}\).

  9. Найдите площадь равнобокой трапеции, диагональ которой равна 28 и составляет угол \( 45^\circ \) с основанием. Решение: Диагональ \( AC = 28 \), угол \( \angle CAD = 45^\circ \). Высота трапеции: \[ h = AC \cdot \sin 45^\circ = 28 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 14\sqrt{2}. \] Проекция диагонали на основание: \[ AD_1 = AC \cdot \cos 45^\circ = 14\sqrt{2}. \] Средняя линия: \[ m = \frac{AD + BC}{2} = 14\sqrt{2}. \] Площадь: \[ S = m \cdot h = 14\sqrt{2} \cdot 14\sqrt{2} = 392. \] Ответ: 392.

  10. В треугольнике \( ABC \) угол \( C \) прямой, \( CD \) — высота. Один из катетов вдвое больше другого. В треугольниках \( ACD \) и \( BCD \) проведены биссектрисы \( DK \) и \( DP \) соответственно, \( KP = 4 \). Найдите площадь треугольника \( ABC \). Решение: Пусть \( BC = x \), \( AC = 2x \). Высота \( CD \): \[ CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{2x^2}{x\sqrt{5}} = \frac{2x}{\sqrt{5}}. \] Координаты точек \( K \) и \( P \): \[ K\left(0, \frac{4x}{3}\right), \quad P\left(\frac{2x}{3}, 0\right). \] Расстояние \( KP \): \[ KP = \sqrt{\left(\frac{2x}{3}\right)^2 + \left(\frac{4x}{3}\right)^2} = \frac{2x\sqrt{5}}{3} = 4 \implies x = \frac{6\sqrt{5}}{5}. \] Площадь \( ABC \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot x = x^2 = \left(\frac{6\sqrt{5}}{5}\right)^2 = \frac{36}{5}. \] Ответ: \(\frac{36}{5}\).
Материалы школы Юайти