Школа №444 из 9 в 10 класс 2022 год

444 ШКОЛА

2022 год

1. Постройте график функции: \[ y = \left| \frac{x^3 - 10x^2 + 29x - 20}{x - 4} \right| \] и найдите все значения параметра $a$, при которых прямая $y = a$ имеет ровно три точки пересечения с этим графиком.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \sqrt{2x - y - z} + \sqrt{-x^2 + 4y + 2z - 8} = \sqrt{y^2 - x} \]
   
   
3. (Геометрия) В равнобедренной трапеции $ABCD$ боковые стороны равны меньшему основанию $BC$. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры $BH$ и $CE$. Найдите площадь четырёхугольника $BCEH$, если площадь трапеции $ABCD$ равна $36$.
   
   
4. Биссектриса $AL$ и медиана $BM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через точку $B$ параллельно $CP$, пересекает продолжение стороны $AC$ в точке $F$. Докажите, что $CF = AB$.
   
   
5. (Комбинаторика) На доске написано несколько цифр (среди них могут быть одинаковые). На каждом шаге две цифры стираются и пишутся цифры, из которых состоит их произведение. Например, вместо 5 и 6 пишется 3 и 0 (так как $5 \cdot 6 = 30$), вместо 2 и 4 пишется 8 (так как $2 \cdot 4 = 8$). Докажите, что через несколько шагов на доске останется одна цифра.
   
   
6. В правильном 21-угольнике 6 вершин помечены красным цветом, а 7 — синим. Докажите, что найдутся два равных треугольника, у одного из которых все вершины красные, а у другого — синие.

Решения задач

1. Постройте график функции: \[ y = \left| \frac{x^3 - 10x^2 + 29x - 20}{x - 4} \right| \] и найдите все значения параметра $a$, при которых прямая $y = a$ имеет ровно три точки пересечения с этим графиком.
   Решение: Упростим выражение функции. Числитель делится на $(x-4)$: \[ x^3 -10x^2 +29x -20 = (x-4)(x^2-6x+5) = (x-4)(x-1)(x-5) \] Функция принимает вид: \[ y = |x^2 -6x +5| \quad \text{при} \quad x \neq 4 \] График функции $y = |x^2 -6x +5|$ — парабола с «отражённой» частью между корнями $x=1$ и $x=5$. Выколотая точка при $x=4$ имеет координаты $(4, 3)$. Анализ пересечений с горизонтальной прямой $y=a$:
   • При $a < 0$: нет решений.
   • При $0 \leq a < 3$: четыре точки пересечения.
   • При $a = 3$: три точки (выколотая точка не учитывается).
   • При $3 < a < 4$: четыре точки.
   • При $a = 4$: три точки (касание вершины параболы).
   • При $a > 4$: две точки.
   Ответ: $a = 3$ и $a = 4$.
   
   
2. Решите уравнение: \[ \sqrt{2x - y - z} + \sqrt{-x^2 + 4y + 2z - 8} = \sqrt{y^2 - x} \]
   Решение: Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными: \[ \begin{cases} 2x - y - z \geq 0 \\ -x^2 + 4y + 2z - 8 \geq 0 \\ y^2 - x \geq 0 \end{cases} \] Предположим, что все подкоренные выражения равны нулю: \[ \begin{cases} 2x - y - z = 0 \\ -x^2 + 4y + 2z - 8 = 0 \\ y^2 - x = 0 \end{cases} \] Из третьего уравнения: $x = y^2$. Подставляя в первое и второе уравнения, получим систему, которая не имеет действительных решений. Проверка других возможных случаев также не даёт решений.
   Ответ: Нет действительных решений.
   
   
3. (Геометрия) В равнобедренной трапеции $ABCD$ боковые стороны равны меньшему основанию $BC$. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры $BH$ и $CE$. Найдите площадь четырёхугольника $BCEH$, если площадь трапеции $ABCD$ равна $36$.
   Решение: Пусть $BC = x$, $AD = y$, высота трапеции $h$. Из условия $AB = BC = x$ и площади: \[ \frac{(x + y)}{2} \cdot h = 36 \] Используя теорему Пифагора для боковой стороны: \[ h = \sqrt{x^2 - \left(\frac{y - x}{2}\