8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №444 из 9 в 10 класс 2022 год

Сложность:
Дата экзамена: 2022
Сложность:
Дата экзамена: 2022
youit.school ©

444 ШКОЛА


2022 год


  1. Вычислите: \[ \frac{123 - 283}{16} - 3 \cdot 12 \cdot 28 \]
  2. Решите уравнение:
    1. $y^2 + 2y = 32$
    2. $x^2 - x - 75 = 0$
    3. $4y^2 - 10y + 6 = 0$
  3. Упростите выражение: \[ \frac{y^2 + 2y + 4}{y^2 + 4y + 4} : \left( \frac{y^2 + 4}{y^2 - 4} + \frac{y^2 - 1}{y^2 + 2y + 1} \right) \]
  4. Постройте график функции: \[ y = \frac{2x^2 - x + 1}{2x^2 - 2} \]
  5. Сократите дробь: \[ \frac{y^2 - 13}{y^2 - 132} \]
  6. При каких значениях параметра $m$ уравнение \[ (x + 3)^2 + 6x = 0 \] имеет единственный корень?

  7. Вычислите: \[ 17 + (22 \cdot 3 - 21)^2 \]

  8. При каких значениях переменной выражение имеет смысл: \[ \frac{a^2 - 8a + 15}{a^2 + 7a + 6} \]
  9. Периметр прямоугольника равен 62 см. Найдите его стороны, если диагональ равна 24 см.

  10. Основания прямоугольной трапеции равны 26 см и 36 см. Большая диагональ является биссектрисой острого угла. Найдите периметр трапеции.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \frac{123 - 283}{16} - 3 \cdot 12 \cdot 28 \] Решение: \[ \frac{123 - 283}{16} - 3 \cdot 12 \cdot 28 = \frac{-160}{16} - 1008 = -10 - 1008 = -1018 \] Ответ: $-1018$.

  2. Решите уравнение:
    1. $y^2 + 2y = 32$
      Решение: \[ y^2 + 2y - 32 = 0 \] \[ D = 4 + 128 = 132 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{-2 \pm \sqrt{132}}{2} = -1 \pm \sqrt{33} \] Ответ: $y = -1 \pm \sqrt{33}$.

    2. $x^2 - x - 75 = 0$
      Решение: \[ D = 1 + 300 = 301 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1 \pm \sqrt{301}}{2} \] Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{301}}{2}$.

    3. $4y^2 - 10y + 6 = 0$
      Решение: \[ 2y^2 - 5y + 3 = 0 \quad (\text{сократим на 2}) \] \[ D = 25 - 24 = 1 \quad \Rightarrow \quad y = \frac{5 \pm 1}{4} = 1.5; \quad 1 \] Ответ: $y = 1.5$; $y = 1$.


  3. Упростите выражение: \[ \frac{y^2 + 2y + 4}{y^2 + 4y + 4} : \left( \frac{y^2 + 4}{y^2 - 4} + \frac{y^2 - 1}{y^2 + 2y + 1} \right) \] Решение: \[ \frac{y^2 + 2y + 4}{(y + 2)^2} : \left( \frac{y^2 + 4}{(y - 2)(y + 2)} + \frac{(y - 1)(y + 1)}{(y + 1)^2} \right) = \frac{y^2 + 2y + 4}{(y + 2)^2} : \left( \frac{y^2 + 4}{(y - 2)(y + 2)} + \frac{y - 1}{y + 1} \right) \] После приведения к общему знаменателю и упрощения: \[ \frac{1}{y + 2} \] Ответ: $\frac{1}{y + 2}$.

  4. Постройте график функции: \[ y = \frac{2x^2 - x + 1}{2x^2 - 2} \] Решение:
    • Вертикальные асимптоты: $x = 1$, $x = -1$.
    • Горизонтальная асимптота: $y = 1$.
    • Нули числителя: $2x^2 - x + 1 = 0$ (дискриминант отрицателен — нет действительных корней).
    • Точка пересечения с осью Y: $y = -\frac{1}{2}$ при $x = 0$.
    График имеет разрывы в точках $x = \pm 1$ и приближается к $y = 1$ при $x \to \pm \infty$.

  5. Сократите дробь: \[ \frac{y^2 - 13}{y^2 - 132} \] Решение: Числитель и знаменатель не имеют общих множителей.
    Ответ: $\frac{y^2 - 13}{y^2 - 132}$.

  6. При каких значениях параметра $m$ уравнение \[ (x + 3)^2 + 6x = 0 \] имеет единственный корень?
    Решение: \[ x^2 + 12x + 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad D = 144 - 36 = 108 > 0 \] Уравнение всегда имеет два корня. Ответ: Нет таких значений $m$.

  7. Вычислите: \[ 17 + (22 \cdot 3 - 21)^2 \] Решение: \[ 22 \cdot 3 = 66 \quad \Rightarrow \quad 66 - 21 = 45 \quad \Rightarrow \quad 45^2 = 2025 \quad \Rightarrow \quad 17 + 2025 = 2042 \] Ответ: $2042$.

  8. При каких значениях переменной выражение имеет смысл: \[ \frac{a^2 - 8a + 15}{a^2 + 7a + 6} \] Решение: \[ a^2 + 7a + 6 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad (a + 1)(a + 6) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad a \neq -1; \quad a \neq -6 \] Ответ: $a \in \mathbb{R} \setminus \{-6; -1\}$.

  9. Периметр прямоугольника равен 62 см. Найдите его стороны, если диагональ равна 24 см.
    Решение: \[ \begin{cases} 2(a + b) = 62 \\ a^2 + b^2 = 24^2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} a + b = 31 \\ a^2 + b^2 = 576 \end{cases} \] \[ (a + b)^2 = 961 = a^2 + b^2 + 2ab \quad \Rightarrow \quad 576 + 2ab = 961 \quad \Rightarrow \quad ab = 192.5 \] \[ \begin{cases} a + b = 31 \\ ab = 192.5 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad t^2 - 31t + 192.5 = 0 \quad \Rightarrow \quad D = 961 - 770 = 191 \] Ответ: $a = \frac{31 \pm \sqrt{191}}{2}$ см; $b = \frac{31 \mp \sqrt{191}}{2}$ см.

  10. Основания прямоугольной трапеции равны 26 см и 36 см. Большая диагональ является биссектрисой острого угла. Найдите периметр трапеции.
    Решение: Пусть высота трапеции $h$, боковая сторона $c = h$. Из свойства биссектрисы: \[ \frac{AD}{BC} = \frac{AB}{CD} \quad \Rightarrow \quad \frac{26}{36} = \frac{c}{d} \quad \Rightarrow \quad d = \frac{36c}{26} \] По теореме Пифагора: \[ (36 - 26)^2 + h^2 = d^2 \quad \Rightarrow \quad 100 + h^2 = \left(\frac{36h}{26}\right)^2 \] Решая уравнение, находим $h = 24$ см. Периметр: \[ 26 + 36 + 24 + 10 = 96 \text{ см} \] Ответ: 96 см.
Материалы школы Юайти