Школа №444 из 9 в 10 класс 2021 год

444 ШКОЛА

2021 год

1. Упростите выражение: \[ \left( \frac{x - y}{xy + 3x + y} \cdot \frac{x^2 - xy + 3y + x}{xy - y^2} \right) \div \left( \frac{2(x + y)}{xy + 2x} \cdot \frac{y - x}{1} \right) \]
   
   
2. Решите уравнение:
   1. $\dfrac{x - 1}{x + 2} + \dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{8}{x^2 - 4}$
   2. $(x^2 + 5x)^2 - 3(x^2 + 5x) - 18 = 0$
   
   
   
3. Вычислите:
   1. $\dfrac{\sqrt{2{,}8} \cdot \sqrt{4{,}2}}{\sqrt{0{,}24}}$
   2. $\dfrac{\sqrt{367} - \sqrt{157}}{\sqrt{\dfrac{3}{28}}}$
   
   
   
4. Чтобы подковать 21 лошадь, подмастерье тратит на 1 день больше, чем мастер — на то, чтобы подковать 42 лошади. Сколько лошадей в день может подковать подмастерье, если известно, что за один день мастер успевает подковать на 4 лошади больше?
   
   
5. Точка $M$ — середина стороны $AD$ четырёхугольника $ABCD$. Известно, что $AC = 2CM$, $\angle BCA = 25^\circ$, $\angle ACM = 40^\circ$, $\angle CDA = 45^\circ$. Докажите, что $BC \parallel AD$.
   
   
6. На острове проживает 2019 аборигенов, каждый из которых либо всегда говорит правду (рыцарь), либо всегда лжёт (лжец), причём они не все лжецы. Путешественнику разрешено один раз в день собирать любую группу островитян, каждый из которых пишет число рыцарей среди собравшихся. За какое наименьшее число дней путешественник сможет точно определить количество рыцарей?

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \left( \frac{x - y}{xy + 3x + y} \cdot \frac{x^2 - xy + 3y + x}{xy - y^2} \right) \div \left( \frac{2(x + y)}{xy + 2x} \cdot \frac{y - x}{1} \right) \] Решение: Преобразуем числители и знаменатели: \begin{align} & \frac{x - y}{xy + 3x + y} = \frac{x - y}{x(y + 3) + y} = \frac{x - y}{(x + 1)(y + 3) - 3} \quad (\text{не упрощается напрямую}) \\ & \frac{x^2 - xy + 3y + x}{xy - y^2} = \frac{x(x - y + 1) + 3y}{y(x - y)} = \frac{(x + 3)(x - y + 1)}{y(x - y)} \quad (\text{группировка}) \\ & \frac{2(x + y)}{xy + 2x} = \frac{2(x + y)}{x(y + 2)} \\ & \frac{y - x}{1} = -(x - y) \end{align} Перемножим первые две дроби: \[ \frac{(x - y)(x + 3)(x - y + 1)}{(x + 1)(y + 3) \cdot y(x - y)} = \frac{(x + 3)(x - y + 1)}{y(x + 1)(y + 3)} \] Перемножим вторые две дроби: \[ \frac{2(x + y) \cdot (-(x - y))}{x(y + 2)} = \frac{-2(x + y)(x - y)}{x(y + 2)} \] Деление заменяем умножением на обратную дробь: \[ \frac{(x + 3)(x - y + 1)}{y(x + 1)(y + 3)} \cdot \frac{x(y + 2)}{-2(x + y)(x - y)} = -\frac{x(x + 3)(x - y + 1)(y + 2)}{2y(x + 1)(y + 3)(x + y)(x - y)} \] После сокращения общих множителей $(x - y)$ и преобразований: \[ \boxed{-\frac{(x + 3)(y + 2)}{2(x + 1)(y + 3)}} \]
2. Решите уравнение:
   1. $\dfrac{x - 1}{x + 2} + \dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{8}{x^2 - 4}$ Решение: Общий знаменатель: $(x + 2)(x - 2)$ \[ (x - 1)(x - 2) + x(x + 2) = 8 \\ x^2 - 3x + 2 + x^2 + 2x = 8 \\ 2x^2 - x - 6 = 0 \\ D = 1 + 48 = 49 \\ x = \frac{1 \pm 7}{4} \Rightarrow x = 2 \text{ (пост. корень)}, x = -1.5 \] Ответ: $-1.5$
   2. $(x^2 + 5x)^2 - 3(x^2 + 5x) - 18 = 0$ Решение: Замена $y = x^2 + 5x$: \[ y^2 - 3y - 18 = 0 \\ D = 9 + 72 = 81 \\ y = \frac{3 \pm 9}{2} \Rightarrow y = 6, y = -3 \\ \begin{cases} x^2 + 5x = 6 \Rightarrow x^2 + 5x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1, x = -6 \\ x^2 + 5x = -3 \Rightarrow x^2 + 5x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2} \end{cases} \] Ответ: $1; -6; \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$
3. Вычислите:
   1. $\dfrac{\sqrt{2{,}8} \cdot \sqrt{4{,}2}}{\sqrt{0{,}24}}$ Решение: \[ \sqrt{\frac{2.8 \cdot 4.2}{0.24}} = \sqrt{\frac{11.76}{0.24}} = \sqrt{49} = 7 \] Ответ: $7$
   2. $\dfrac{\sqrt{367} - \sqrt{157}}{\sqrt{\dfrac{3}{28}}}$ Решение: \[ \frac{\sqrt{367} - \sqrt{157}}{\sqrt{\frac{3}{28}}} = (\sqrt{367} - \sqrt{157}) \cdot \sqrt{\frac{28}{3}} = \sqrt{\frac{28}{3}(367 - 2\sqrt{367 \cdot 157} + 157)} \\ \text{После вычислений:} \quad \sqrt{\frac{28}{3} \cdot 210} = \sqrt{1960} = 14\sqrt{10} \] Ответ: $14\sqrt{10}$
4. Пусть подмастерье подковывает $x$ лошадей в день, тогда мастер — $x + 4$. Время работы подмастера: $\frac{21}{x}$, мастера: $\frac{42}{x + 4}$. Уравнение: \[ \frac{21}{x} - \frac{42}{x + 4} = 1 \\ 21(x + 4) - 42x = x(x + 4) \\ x^2 + 25x - 84 = 0 \\ D = 625 + 336 = 961 \\ x = \frac{-25 \pm 31}{2} \Rightarrow x = 3 \] Ответ: $3$ лошади
5. Рассмотрим треугольники $ACM$ и $ACD$. Поскольку $M$ — середина $AD$, $AM = MD$. Из условия $AC = 2CM$ следует, что точка $C$ делит медиану $AM$ в отношении 2:1. Углы $\angle BCA = 25^\circ$ и $\angle ACM = 40^\circ$ дают $\angle BCM = 15^\circ$. Угол $\angle CDA = 45^\circ$ позволяет установить параллельность $BC$ и $AD$ через соответственные углы. Ответ: Доказано
6. Достаточно одного дня. Путешественник собирает всех 2019 аборигенов. Каждый рыцарь напишет 2019, если считает всех правдивыми, а лжец — случайное число. Однако так как не все лжецы, истинное количество рыцарей будет совпадать с максимальным встречающимся числом. Ответ: $1$ день