Школа №444 из 9 в 10 класс 2016 вариант 1
Печать
youit.school ©
444 ШКОЛА
2016 год
Вариант 1
- Известно, что \[ \frac{4b + a}{5a - 7b} = 2. \] Найти значение выражения \[ \frac{3a^2 - 2ab + b^2}{5a^2 + 2b^2}. \]
- Упростить: \[ \sqrt{\sqrt{28 - 16\sqrt{3}}}. \]
- Пусть \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \[ 2x^2 - 5x - 1 = 0. \] Не находя \(x_1\) и \(x_2\), составьте квадратное уравнение, корнями которого будут \(\displaystyle \frac{x_1}{x_2} + 1\) и \(\displaystyle \frac{x_2}{x_1} + 1\).
- Сплавили два слитка, содержание цинка в которых было 64% и 84% соответственно. Получился слиток, содержащий 76% цинка, его масса 50 г. Найдите массу каждого из исходных слитков.
- Найдите сумму всех натуральных двузначных чисел, кратных 3, но не кратных 7.
- Решите уравнение \[ x^2 + \bigl(\sqrt{x}\bigr)^2 - 6 = 0. \]
- При каких значениях \(a\) система уравнений \[ \begin{cases} x = y + a,\\[4pt] y = \dfrac{4x^2 - x^4}{x^2 - 4} \end{cases} \] имеет ровно одно решение?
- Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки длиной 10 и 14.
- Найдите площадь равнобокой трапеции, диагональ которой равна \(8\sqrt{2}\) и составляет с основанием угол \(45^\circ\).
- В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) прямой, \(CD\) — высота, и один из катетов вдвое больше другого. В треугольниках \(ACD\) и \(BCD\) проведены биссектрисы \(DK\) и \(DP\) соответственно, причём \(KP = 4\). Найдите площадь треугольника \(ABC\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Из уравнения $\displaystyle \frac{4b + a}{5a - 7b} = 2$ выражаем $a$ через $b$:
\[
4b + a = 2(5a - 7b) \implies 4b + a = 10a - 14b \implies 18b = 9a \implies a = 2b.
\]
Подставляем $a = 2b$ в выражение:
\[
\frac{3(2b)^2 - 2(2b)b + b^2}{5(2b)^2 + 2b^2} = \frac{9b^2}{22b^2} = \frac{9}{22}.
\]
Ответ: \(\frac{9}{22}\).
- Упрощаем выражение:
\[
\sqrt{\sqrt{28 - 16\sqrt{3}}}
\]
Представим $28 - 16\sqrt{3}$ как квадрат:
\[
28 - 16\sqrt{3} = (4 - 2\sqrt{3})^2.
\]
Тогда внутренний корень:
\[
\sqrt{28 - 16\sqrt{3}} = 4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2.
\]
Получаем итоговый ответ:
\[
\sqrt{\sqrt{28 - 16\sqrt{3}}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)} = \sqrt{3} - 1.
\]
Ответ: \(\sqrt{3} - 1\).
- Используя теорему Виета для уравнения \(2x^2 -5x -1 =0\):
\[
x_1 + x_2 = \frac{5}{2}, \quad x_1x_2 = -\frac{1}{2}.
\]
Корни нового уравнения: \( \frac{x_1}{x_2} + 1 \) и \( \frac{x_2}{x_1} + 1 \). Найдем сумму и произведение новых корней:
\[
\frac{x_1 + x_2}{x_2} + \frac{x_1 + x_2}{x_1} + 2 = \frac{ (x_1^2 + x_2^2) }{x_1x_2} + 2 = -\frac{25}{2}.
\]
\[
\left(\frac{x_1}{x_2} + 1\right)\left(\frac{x_2}{x_1} + 1\right) = \frac{(x_1 + x_2)^2}{x_1x_2} = -\frac{25}{2}.
\]
Уравнение: \( 2y^2 + 25y - 25 = 0 \). Ответ: \(2y^2 + 25y -25 = 0\).
- Пусть массы слитков: \(x\) ($64\%$-ный) и \(50 - x\) ($84\%$-ный). Уравнение цинка:
\[
0.64x + 0.84(50 - x) = 0.76 \cdot 50 \implies x = 20\,\text{г}, \quad 50 - x = 30\,\text{г}.
\]
Ответ: 20 г и 30 г.
- Сумма чисел от 12 до 99, кратных 3:
\[
S_1 = \frac{(12 + 99) \cdot 30}{2} = 1665.
\]
Вычитаем числа, кратные 21:
\[
S_2 = 21 + 42 + 63 + 84 = 210 \implies S = 1665 - 210 = 1455.
\]
Ответ: 1455.
- Решаем уравнение:
\[
x^2 + x - 6 = 0 \implies x = 2.
\]
Ответ: 2.
- Подставляем \(x = y + a\) во второе уравнение:
\[
y = \frac{4x^2 - x^4}{x^2 - 4} \implies y = -x^2 \implies x^2 + x - a = 0.
\]
Условие единственного решения: дискриминант \(D = 1 + 4a = 0 \implies a = -\frac{1}{4}\). Также проверяем случаи с исключением корней \(x = 2\) и \(x = -2\), получая \(a = 2\) и \(a = 6\). Ответ: \(a = -\frac{1}{4}, 2, 6\).
- Биссектриса угла делит сторону на отрезки 10 и 14. Используя свойство биссектрисы:
\[
\frac{AB}{AD} = \frac{BE}{EC} \implies \frac{AB}{24} = \frac{10}{14} \implies AB = \frac{120}{7}.
\]
Периметр: \(2 \left(\frac{120}{7} + 24\right) = \frac{576}{7}\). Ответ: \(\frac{576}{7}\).
- Диагональ \(8\sqrt{2}\) под \(45^\circ\):
\[
h = 8\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ = 8,\quad \text{проекция} = 8.
\]
Средняя линия: \(\frac{AD + BC}{2} = 8\), площадь: \(8 \cdot 8 = 64\). Ответ: 64.
- Координаты точек: \[ D\left(\frac{4x}{5}, \frac{2x}{5}\right),\quad K\left(0, \frac{4x}{3}\right),\quad P\left(\frac{x}{3}, 0\right). \] Расстояние \(KP = 4\): \[ \sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2 + \left(\frac{4x}{3}\right)^2} = 4 \implies x = \frac{12}{\sqrt{17}} \implies S = x^2 = \frac{144}{17}. \] Ответ: \(\frac{144}{17}\).
Материалы школы Юайти