8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №444 из 9 в 10 класс 2016 год

Сложность:
Дата экзамена: 04.2016
СкачатьПечать
youit.school ©

444 ШКОЛА


2016 год


15.04.2016



  1. Вычислить: \[ \frac{223 - 283}{6} - 3 \cdot 22 \cdot 28 \]

  2. Упростить выражение: \[ \left( \frac{c - c^3 + 8}{2c + c^2} \right) \cdot \frac{c}{c^2 - 4c + 4} + \frac{2}{2 - c} \]

  3. Решить уравнение \(x^2 - 15x + q = 0\), если известно, что его корни \(x_1, x_2\) связаны соотношением: \[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{5}{12} \]

  4. Решить уравнение: \[ x - 3 \cdot (3x^2 - 14x + 8) = 0 \]

  5. Решить неравенства:
    1. \[ \frac{(x^2 - 1)(2x^2 - 5x - 7)}{2 - x} \leq 0 \]
    2. \[ x^2 - 3x + 2 \geq |x - 5| \]


  6. Нарисовать на плоскости множество точек, удовлетворяющих условию: \[ \frac{(x^2 - 4)(y - x + 1)}{x - 2} = 0 \]

  7. Наименьшее общее кратное чисел \(a\) и \(b\) равно \(\dfrac{ab}{3}\). Найдите их наибольший общий делитель.

  8. При каких значениях \(k\) прямая \(y = 2x - 3\) имеет с параболой \(y = (x - k)^2\) хотя бы одну общую точку?

  9. При каких значениях \(x\) и \(y\) выражение \[ 5x^2 - 4x + y^2 + 2xy + 1 \] принимает наименьшее значение?

  10. Найти расстояние от начала координат до прямой: \[ y = 2 - 2x \]

  11. На окружности взяли 7 точек и провели через них всевозможные хорды. Сколько всего хорд провели?

  12. Четырёхугольник \(ABCD\) — трапеция (\(AD \parallel BC\)). Известно: \[ \frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOC}} = 16 \] Найти отношение \(\dfrac{BC}{AD}\).

  13. Стороны треугольника равны 2, 7 и 3. Найдите его площадь.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислить: \[ \frac{223 - 283}{6} - 3 \cdot 22 \cdot 28 \] Решение: \[ \frac{-60}{6} - 3 \cdot 616 = -10 - 1848 = -1858 \] Ответ: \(-1858\).
  2. Упростить выражение: \[ \left( \frac{c - c^3 + 8}{2c + c^2} \right) \cdot \frac{c}{c^2 - 4c + 4} + \frac{2}{2 - c} \] Решение: Разложим числитель первой дроби: \[ c - c^3 + 8 = -(c^3 - c - 8) \] Знаменатель второй дроби: \[ c^2 - 4c + 4 = (c - 2)^2 \] Упростим выражение: \[ \frac{-(c^2 + 2c + 4)}{c(2 + c)} \cdot \frac{c}{(c - 2)^2} + \frac{2}{2 - c} = \frac{-(c^2 + 2c + 4)}{(c + 2)(c - 2)^2} + \frac{2}{2 - c} \] Приведем к общему знаменателю и упростим: \[ \frac{-(c^2 + 2c + 4) + 2(c + 2)(c - 2)}{(c + 2)(c - 2)^2} = \frac{-c^2 - 2c - 4 + 2c^2 - 8}{(c + 2)(c - 2)^2} = \frac{c^2 - 2c - 12}{(c + 2)(c - 2)^2} \] Ответ: \(\frac{c^2 - 2c - 12}{(c + 2)(c - 2)^2}\).
  3. Решить уравнение \(x^2 - 15x + q = 0\), если известно, что его корни \(x_1, x_2\) связаны соотношением: \[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{5}{12} \] Решение: По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 15, \quad x_1x_2 = q \] Из условия: \[ \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \frac{5}{12} \Rightarrow \frac{15}{q} = \frac{5}{12} \Rightarrow q = 36 \] Ответ: \(q = 36\).
  4. Решить уравнение: \[ x - 3 \cdot (3x^2 - 14x + 8) = 0 \] Решение: Раскроем скобки: \[ x - 9x^2 + 42x - 24 = 0 \Rightarrow -9x^2 + 43x - 24 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ D = 43^2 - 4 \cdot 9 \cdot 24 = 1849 - 864 = 985 \] \[ x = \frac{43 \pm \sqrt{985}}{18} \] Ответ: \(x = \frac{43 \pm \sqrt{985}}{18}\).
  5. Решить неравенства:
    1. \[ \frac{(x^2 - 1)(2x^2 - 5x - 7)}{2 - x} \leq 0 \] Решение: Нули числителя: \(x = \pm1\), \(x = \frac{5 \pm 9}{4} \Rightarrow x = 3.5, -1\). Знаменатель обращается в ноль при \(x = 2\). Метод интервалов: \[ x \in (-\infty; -1] \cup [1; 2) \cup [3.5; +\infty) \] Ответ: \(x \in (-\infty; -1] \cup [1; 2) \cup [3.5; +\infty)\).
    2. \[ x^2 - 3x + 2 \geq |x - 5| \] Решение: Рассмотрим два случая:
      • \(x \geq 5\): \[ x^2 - 3x + 2 \geq x - 5 \Rightarrow x^2 - 4x + 7 \geq 0 \quad \text{(всегда верно)} \]
      • \(x < 5\): \[ x^2 - 3x + 2 \geq 5 - x \Rightarrow x^2 - 2x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \leq -1 \cup x \geq 3 \]
      Объединяя решения: \[ x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty) \] Ответ: \(x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)\).
  6. Нарисовать на плоскости множество точек, удовлетворяющих условию: \[ \frac{(x^2 - 4)(y - x + 1)}{x - 2} = 0 \] Решение: Уравнение равносильно: \[ (x^2 - 4)(y - x + 1) = 0 \quad \text{при} \quad x \neq 2 \] Получаем:
    • \(x = -2\) (вертикальная прямая)
    • \(y = x - 1\) (прямая)
    Ответ: Прямая \(y = x - 1\) и вертикальная прямая \(x = -2\).
  7. Наименьшее общее кратное чисел \(a\) и \(b\) равно \(\dfrac{ab}{3}\). Найдите их наибольший общий делитель. Решение: Используем формулу: \[ \text{НОК}(a, b) \cdot \text{НОД}(a, b) = ab \Rightarrow \frac{ab}{3} \cdot \text{НОД} = ab \Rightarrow \text{НОД} = 3 \] Ответ: \(3\).
  8. При каких значениях \(k\) прямая \(y = 2x - 3\) имеет с параболой \(y = (x - k)^2\) хотя бы одну общую точку? Решение: Приравняем уравнения: \[ 2x - 3 = (x - k)^2 \Rightarrow x^2 - 2(k + 1)x + k^2 + 3 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 4(k + 1)^2 - 4(k^2 + 3) = 8k - 8 \geq 0 \Rightarrow k \geq 1 \] Ответ: \(k \geq 1\).
  9. При каких значениях \(x\) и \(y\) выражение \[ 5x^2 - 4x + y^2 + 2xy + 1 \] принимает наименьшее значение? Решение: Преобразуем выражение: \[ 5x^2 - 4x + 1 + y^2 + 2xy = (2x - 1)^2 + (x + y)^2 \] Минимум достигается при: \[ 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}, \quad x + y = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{2} \] Ответ: \(x = \frac{1}{2}\), \(y = -\frac{1}{2}\).
  10. Найти расстояние от начала координат до прямой: \[ y = 2 - 2x \] Решение: Приведем уравнение к виду \(2x + y - 2 = 0\). Расстояние: \[ \frac{|2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \] Ответ: \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\).
  11. На окружности взяли 7 точек и провели через них всевозможные хорды. Сколько всего хорд провели? Решение: Число хорд равно числу сочетаний из 7 по 2: \[ C_7^2 = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21 \] Ответ: \(21\).
  12. Четырёхугольник \(ABCD\) — трапеция (\(AD \parallel BC\)). Известно: \[ \frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOC}} = 16 \] Найти отношение \(\dfrac{BC}{AD}\). Решение: Отношение площадей треугольников, образованных диагоналями трапеции, равно квадрату отношения оснований: \[ \frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOC}} = \left(\frac{AD}{BC}\right)^2 = 16 \Rightarrow \frac{BC}{AD} = \frac{1}{4} \] Ответ: \(\frac{1}{4}\).
  13. Стороны треугольника равны 2, 7 и 3. Найдите его площадь. Решение: Проверим неравенство треугольника: \[ 2 + 3 = 5 < 7 \quad \text{(неравенство не выполняется)} \] Такой треугольник не существует, его площадь равна \(0\). Ответ: \(0\).
Материалы школы Юайти