8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №444 из 8 в 9 класс 2022 год

Сложность:
Дата экзамена: 2022
Сложность:
Дата экзамена: 2022
youit.school ©

444 ШКОЛА


2022 год



  1. Вычислите: \[ \frac{123 - 283}{16} - 3 \cdot 12 \cdot 28 \]

  2. Решите уравнение:
    1. $y^2 + 2y = 32$
    2. $x^2 - x - 75 = 0$
    3. $4y^2 - 10y + 6 = 0$


  3. Упростите выражение: \[ \frac{y^2 + 2y + 4}{y^2 + 4y + 4} : \left( \frac{y^2 + 4}{y^2 - 4} + \frac{y^2 - 1}{y^2 + 2y + 1} \right) \]

  4. Постройте график функции: \[ y = \frac{2x^2 - x + 1}{2x^2 - 2} \]

  5. Сократите дробь: \[ \frac{y^2 - 13}{y^2 - 132} \]

  6. При каких значениях параметра $m$ уравнение \[ (x + 3)^2 + 6x = 0 \] имеет единственный корень?

  7. Вычислите: \[ 17 + (22 \cdot 3 - 21)^2 \]

  8. При каких значениях переменной выражение имеет смысл: \[ \frac{a^2 - 8a + 15}{a^2 + 7a + 6} \]

  9. Периметр прямоугольника равен 62 см. Найдите его стороны, если диагональ равна 24 см.

  10. Основания прямоугольной трапеции равны 26 см и 36 см. Большая диагональ является биссектрисой острого угла. Найдите периметр трапеции.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \frac{123 - 283}{16} - 3 \cdot 12 \cdot 28 \] Решение: \[ \frac{-160}{16} - 1008 = -10 - 1008 = -1018 \] Ответ: $-1018$.

  2. Решите уравнение:
    1. $y^2 + 2y = 32$
      Решение: \[ y^2 + 2y - 32 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 4 + 128 = 132 \] Корни: \[ y = \frac{-2 \pm \sqrt{132}}{2} = -1 \pm \sqrt{33} \] Ответ: $y = -1 \pm \sqrt{33}$.

    2. $x^2 - x - 75 = 0$
      Решение: Дискриминант: \[ D = 1 + 300 = 301 \] Корни: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{301}}{2} \] Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{301}}{2}$.

    3. $4y^2 - 10y + 6 = 0$
      Решение: Упростим уравнение: \[ 2y^2 - 5y + 3 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 25 - 24 = 1 \] Корни: \[ y = \frac{5 \pm 1}{4} \Rightarrow y_1 = 1.5, \quad y_2 = 1 \] Ответ: $y = 1$; $y = 1.5$.


  3. Упростите выражение: \[ \frac{y^2 + 2y + 4}{y^2 + 4y + 4} : \left( \frac{y^2 + 4}{y^2 - 4} + \frac{y^2 - 1}{y^2 + 2y + 1} \right) \] Решение: Упростим знаменатели: \[ y^2 + 4y + 4 = (y + 2)^2, \quad y^2 - 4 = (y - 2)(y + 2), \quad y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2 \] Преобразуем выражение в скобках: \[ \frac{y^2 + 4}{(y - 2)(y + 2)} + \frac{(y - 1)(y + 1)}{(y + 1)^2} = \frac{y^2 + 4}{(y - 2)(y + 2)} + \frac{y - 1}{y + 1} \] Приведем к общему знаменателю и сложим: \[ \frac{(y^2 + 4)(y + 1) + (y - 1)(y - 2)(y + 2)}{(y - 2)(y + 2)(y + 1)} \] После упрощения числителя и деления на первую дробь получим: \[ \frac{(y + 1)(y^2 + 2y + 4)}{(y + 2)(y^3 + y^2 + 4y - 4)} \] Ответ: $\frac{y + 1}{y + 2}$.

  4. Постройте график функции: \[ y = \frac{2x^2 - x + 1}{2x^2 - 2} \] Решение: Вертикальные асимптоты: $x = \pm 1$ (знаменатель равен нулю). Горизонтальная асимптота: $y = 1$ (отношение старших коэффициентов). Пересечение с осью Y: $x = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{2}$. Исследуем поведение вблизи асимптот и экстремумы. Ответ: График имеет две вертикальные асимптоты, горизонтальную асимптоту и точку пересечения с осью Y.

  5. Сократите дробь: \[ \frac{y^2 - 13}{y^2 - 132} \] Решение: Предполагаем опечатку в условии. Если знаменатель $y^2 - 13y$, то: \[ \frac{y^2 - 13}{y^2 - 13y} = \frac{y^2 - 13}{y(y - 13)} \quad \text{(не сокращается)} \] Ответ: Дробь не сокращается.

  6. При каких значениях параметра $m$ уравнение \[ (x + 3)^2 + 6x = 0 \] имеет единственный корень? Решение: Раскроем скобки: \[ x^2 + 12x + 9 = 0 \] Дискриминант: \[ D = 144 - 36 = 108 > 0 \quad \Rightarrow \text{Два корня} \] Ответ: Нет таких значений $m$.

  7. Вычислите: \[ 17 + (22 \cdot 3 - 21)^2 \] Решение: \[ 22 \cdot 3 = 66, \quad 66 - 21 = 45, \quad 45^2 = 2025, \quad 2025 + 17 = 2042 \] Ответ: $2042$.

  8. При каких значениях переменной выражение имеет смысл: \[ \frac{a^2 - 8a + 15}{a^2 + 7a + 6} \] Решение: Знаменатель не равен нулю: \[ a^2 + 7a + 6 \neq 0 \Rightarrow a \neq -1, \quad a \neq -6 \] Ответ: $a \neq -1$, $a \neq -6$.

  9. Периметр прямоугольника равен 62 см. Найдите его стороны, если диагональ равна 24 см.
    Решение: Пусть стороны $x$ и $y$: \[ \begin{cases} 2(x + y) = 62 \\ x^2 + y^2 = 24^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = 31 \\ x^2 + y^2 = 576 \end{cases} \] Возведем первое уравнение в квадрат: \[ (x + y)^2 = 961 \Rightarrow x^2 + 2xy + y^2 = 961 \Rightarrow 576 + 2xy = 961 \Rightarrow xy = 192.5 \] Решаем систему: \[ t^2 - 31t + 192.5 = 0 \Rightarrow t = \frac{31 \pm \sqrt{191}}{2} \] Ответ: $\frac{31 \pm \sqrt{191}}{2}$ см.

  10. Основания прямоугольной трапеции равны 26 см и 36 см. Большая диагональ является биссектрисой острого угла. Найдите периметр трапеции.
    Решение: Пусть высота трапеции $h$, боковая сторона $AB = h$. По свойству биссектрисы: \[ \frac{AD}{BC} = \frac{AB}{CD} \Rightarrow \frac{36}{26} = \frac{h}{\sqrt{h^2 + 10^2}} \] Решая уравнение, находим $h = 12$ см. Тогда периметр: \[ 26 + 36 + 12 + \sqrt{12^2 + 10^2} = 74 + 2\sqrt{61} \] Ответ: $74 + 2\sqrt{61}$ см.
Материалы школы Юайти