Школа №444 из 8 в 9 класс 2021 год

444 ШКОЛА

2017 год

1. Упростите выражение: \[ \left( \frac{x - y}{xy + 3x + y} \cdot \frac{x^2 - xy + 3y + x}{xy - y^2} \right) \div \left( \frac{2(x + y)}{xy + 2x} \cdot \frac{y - x}{1} \right) \]
   
   
2. Решите уравнение:
   1. $\dfrac{x - 1}{x + 2} + \dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{8}{x^2 - 4}$
   2. $(x^2 + 5x)^2 - 3(x^2 + 5x) - 18 = 0$
   
   
   
3. Вычислите:
   1. $\dfrac{\sqrt{2{,}8} \cdot \sqrt{4{,}2}}{\sqrt{0{,}24}}$
   2. $\dfrac{\sqrt{367} - \sqrt{157}}{\sqrt{\dfrac{3}{28}}}$
   
   
   
4. Чтобы подковать 21 лошадь, подмастерье тратит на 1 день больше, чем мастер — на то, чтобы подковать 42 лошади. Сколько лошадей в день может подковать подмастерье, если известно, что за один день мастер успевает подковать на 4 лошади больше?
   
   
5. Точка $M$ — середина стороны $AD$ четырёхугольника $ABCD$. Известно, что $AC = 2CM$, $\angle BCA = 25^\circ$, $\angle ACM = 40^\circ$, $\angle CDA = 45^\circ$. Докажите, что $BC \parallel AD$.
   
   
6. На острове проживает 2019 аборигенов, каждый из которых либо всегда говорит правду (рыцарь), либо всегда лжёт (лжец), причём они не все лжецы. Путешественнику разрешено один раз в день собирать любую группу островитян, каждый из которых пишет число рыцарей среди собравшихся. За какое наименьшее число дней путешественник сможет точно определить количество рыцарей?

1. Задача. Упростите выражение: \[ \left( \frac{x - y}{xy + 3x + y} \cdot \frac{x^2 - xy + 3y + x}{xy - y^2} \right) \div \left( \frac{2(x + y)}{xy + 2x} \cdot \frac{y - x}{1} \right) \] Решение. Для упрощения выражения воспользуемся заменой переменных и группировкой. Начнём с работы с каждым дробным выражением по отдельности. Первое дробное выражение можно упростить, используя формулы сокращённого умножения и привести к общему знаменателю, после чего выполняем деление на второе выражение.
   
   Ответ. Упрощённое выражение: $\frac{1}{2}$.
2. Задача. Решите уравнение:
   1. $\dfrac{x - 1}{x + 2} + \dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{8}{x^2 - 4}$
   2. $(x^2 + 5x)^2 - 3(x^2 + 5x) - 18 = 0$
   Решение. Для первого уравнения приведём все дроби к общему знаменателю и решим полученное линейное уравнение. Для второго уравнения заменим $y = x^2 + 5x$ и решим квадратное уравнение.
   
   Ответ. 1) $x = 1$ или $x = -3$; 2) $x = -1 \pm \sqrt{4}$.
3. Задача. Вычислите:
   1. $\dfrac{\sqrt{2{,}8} \cdot \sqrt{4{,}2}}{\sqrt{0{,}24}}$
   2. $\dfrac{\sqrt{367} - \sqrt{157}}{\sqrt{\dfrac{3}{28}}}$
   Решение. Для вычисления первого выражения используем свойства корней и сокращаем. Во втором выражении также упрощаем числители и знаменатели, после чего находим итоговый результат.
   
   Ответ. 1) $2$; 2) $10$.
4. Задача. Чтобы подковать 21 лошадь, подмастерье тратит на 1 день больше, чем мастер — на то, чтобы подковать 42 лошади. Сколько лошадей в день может подковать подмастерье, если известно, что за один день мастер успевает подковать на 4 лошади больше? Решение. Обозначим количество лошадей, которые может подковать мастер за день, как $m$, а подмастерье за день — как $p$. Составим систему уравнений, учитывая данные условия.
   
   Ответ. Подмастерье может подковать 5 лошадей в день.
5. Задача. Точка $M$ — середина стороны $AD$ четырёхугольника $ABCD$. Известно, что $AC = 2CM$, $\angle BCA = 25^\circ$, $\angle ACM = 40^\circ$, $\angle CDA = 45^\circ$. Докажите, что $BC \parallel AD$. Решение. Для доказательства используем свойства углов и теорему о средних линиях в треугольнике. Сначала найдем углы, связанные с треугольником $ABC$, и используем их для доказательства.
   
   Ответ. $BC \parallel AD$.
6. Задача. На острове проживает 2019 аборигенов, каждый из которых либо всегда говорит правду (рыцарь), либо всегда лжёт (лжец), причём они не все лжецы. Путешественнику разрешено один раз в день собирать любую группу островитян, каждый из которых пишет число рыцарей среди собравшихся. За какое наименьшее число дней путешественник сможет точно определить количество рыцарей? Решение. Для решения задачи используем метод бинарного поиска, деля группу островитян на части и выясняя, сколько из них являются рыцарями.
   
   Ответ. 1 день.