Школа №444 из 8 в 9 класс 2021 год

444 ШКОЛА

2017 год

1. Упростите выражение: \[ \left( \frac{x - y}{xy + 3x + y} \cdot \frac{x^2 - xy + 3y + x}{xy - y^2} \right) \div \left( \frac{2(x + y)}{xy + 2x} \cdot \frac{y - x}{1} \right) \]
   
   
2. Решите уравнение:
   1. $\dfrac{x - 1}{x + 2} + \dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{8}{x^2 - 4}$
   2. $(x^2 + 5x)^2 - 3(x^2 + 5x) - 18 = 0$
   
   
   
3. Вычислите:
   1. $\dfrac{\sqrt{2{,}8} \cdot \sqrt{4{,}2}}{\sqrt{0{,}24}}$
   2. $\dfrac{\sqrt{367} - \sqrt{157}}{\sqrt{\dfrac{3}{28}}}$
   
   
   
4. Чтобы подковать 21 лошадь, подмастерье тратит на 1 день больше, чем мастер — на то, чтобы подковать 42 лошади. Сколько лошадей в день может подковать подмастерье, если известно, что за один день мастер успевает подковать на 4 лошади больше?
   
   
5. Точка $M$ — середина стороны $AD$ четырёхугольника $ABCD$. Известно, что $AC = 2CM$, $\angle BCA = 25^\circ$, $\angle ACM = 40^\circ$, $\angle CDA = 45^\circ$. Докажите, что $BC \parallel AD$.
   
   
6. На острове проживает 2019 аборигенов, каждый из которых либо всегда говорит правду (рыцарь), либо всегда лжёт (лжец), причём они не все лжецы. Путешественнику разрешено один раз в день собирать любую группу островитян, каждый из которых пишет число рыцарей среди собравшихся. За какое наименьшее число дней путешественник сможет точно определить количество рыцарей?

Решения задач

1. Упростите выражение: \[ \left( \frac{x - y}{xy + 3x + y} \cdot \frac{x^2 - xy + 3y + x}{xy - y^2} \right) \div \left( \frac{2(x + y)}{xy + 2x} \cdot \frac{y - x}{1} \right) \] Решение: Разложим множители в числителях и знаменателях: \begin{align} &1)\ xy + 3x + y = x(y + 3) + y = (x + 1)(y + 3) - 3 \\ &2)\ x^2 - xy + 3y + x = x(x - y + 1) + 3y = (x + 3)(x - y + 1) \\ &3)\ xy - y^2 = y(x - y) \\ &4)\ xy + 2x = x(y + 2) \end{align} Преобразуем выражение поэтапно: \begin{align} &\frac{(x - y)(x^2 - xy + x + 3y)}{(xy + 3x + y)(xy - y^2)} \div \frac{2(x + y)(y - x)}{xy + 2x} = \\ &= \frac{(x - y)(x + 3)(x - y + 1)}{(x + 1)(y + 3)y(x - y)} \cdot \frac{x(y + 2)}{2(x + y)(x - y)} = \\ &= \frac{(x + 3)(x - y + 1)}{(x + 1)(y + 3)y} \cdot \frac{x(y + 2)}{2(x + y)(x - y)} = \\ &= \frac{x(x + 3)(y + 2)(x - y + 1)}{2y(x + 1)(y + 3)(x + y)(x - y)} \end{align} Ответ: $\dfrac{x(x + 3)(y + 2)(x - y + 1)}{2y(x + 1)(y + 3)(x + y)(x - y)}$
   
   
2. Решите уравнение:
   1. $\dfrac{x - 1}{x + 2} + \dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{8}{x^2 - 4}$ Решение: Общий знаменатель: $(x + 2)(x - 2)$ \begin{align} &(x - 1)(x - 2) + x(x + 2) = 8 \\ &x^2 - 3x + 2 + x^2 + 2x = 8 \\ &2x^2 - x - 6 = 0 \\ &D = 1 + 48 = 49 \\ &x = \frac{1 \pm 7}{4} \\ &x_1 = 2,\ x_2 = -1.5 \end{align} Проверка: $x = 2$ не входит в ОДЗ. Ответ: $-1.5$
      
      
   2. $(x^2 + 5x)^2 - 3(x^2 + 5x) - 18 = 0$ Решение: Замена $y = x^2 + 5x$: \begin{align} &y^2 - 3y - 18 = 0 \\ &D = 9 + 72 = 81 \\ &y = \frac{3 \pm 9}{2} \Rightarrow y_1 = 6,\ y_2 = -3 \end{align} Возвращаемся к исходной переменной: \begin{align} 1)\ x^2 + 5x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1,\ x = -6 \\ 2)\ x^2 + 5x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2} \end{align} Ответ: $1; -6; \dfrac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$
   
   
   
3. Вычислите:
   1. $\dfrac{\sqrt{2{,}8} \cdot \sqrt{4{,}2}}{\sqrt{0{,}24}}$ Решение: \begin{align} &\sqrt{\frac{2.8 \cdot 4.2}{0.24}} = \sqrt{\frac{11.76}{0.24}} = \sqrt{49} = 7 \end{align} Ответ: 7
      
      
   2. $\dfrac{\sqrt{367} - \sqrt{157}}{\sqrt{\dfrac{3}{28}}}$ Решение: Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{28/3}$: \begin{align} &\frac{(\sqrt{367} - \sqrt{157})\sqrt{28}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{(\sqrt{367} - \sqrt{157})\sqrt{28}}{3} \\ &\sqrt{28} = 2\sqrt{7} \Rightarrow \frac{2(\sqrt{367} - \sqrt{157})\sqrt{7}}{3} \end{align} Ответ: $\dfrac{2(\sqrt{367} - \sqrt{157})\sqrt{7}}{3}$
   
   
   
4. Чтобы подковать 21 лошадь, подмастерье тратит на 1 день больше, чем мастер — на то, чтобы подковать 42 лошади. Сколько лошадей в день может подковать подмастерье, если известно, что за один день мастер успевает подковать на 4 лошади больше? Решение: Пусть $x$ — производительность подмастерья (лошадей/день), тогда мастер делает $x + 4$ лошади/день. \begin{align} &\frac{21}{x} - \frac{42}{x + 4} = 1 \\ &21(x + 4) - 42x = x(x + 4) \\ &21x + 84 - 42x = x^2 + 4x \\ &x^2 + 25x - 84 = 0 \\ &D = 625 + 336 = 961 \\ &x = \frac{-25 \pm 31}{2} \Rightarrow x = 3 \end{align} Ответ: 3 лошади в день
   
   
5. Точка $M$ — середина стороны $AD$ четырёхугольника $ABCD$. Известно, что $AC = 2CM$, $\angle BCA = 25^\circ$, $\angle ACM = 40^\circ$, $\angle CDA = 45^\circ$. Докажите, что $BC \parallel AD$. Решение: 1) Рассмотрим треугольник $ACM$: $AC = 2CM$, значит $CM$ — медиана. По условию $\angle ACM = 40^\circ$, $\angle CDA = 45^\circ$. 2) Треугольники $ACD$ и $BCM$ подобны по двум углам ($\angle CDA = \angle BCM = 45^\circ$, $\angle CAD = \angle CBM$). 3) Из подобия следует пропорциональность сторон: $BC/AD = BM/AC = 1/2$, значит $BC \parallel AD$ как соответственные стороны подобных треугольников.
   
   
6. На острове проживает 2019 аборигенов, каждый из которых либо всегда говорит правду (рыцарь), либо всегда лжёт (лжец), причём они не все лжецы. Путешественнику разрешено один раз в день собирать любую группу островитян, каждый из которых пишет число рыцарей среди собравшихся. За какое наименьшее число дней путешественник сможет точно определить количество рыцарей? Решение: Достаточно 2 дней: 1 день: Собрать всех. Каждый рыцарь напишет истинное число $K$, каждый лжец — любое число кроме $K$. Сумма всех ответов будет $K^2 + S$, где $S$ — сумма ложных чисел. 2 день: Собрать одного человека. Если он рыцарь — назовёт 1 или 0 (в зависимости от себя). Если лжец — соврёт. Сравнив результаты двух дней, можно определить точное количество рыцарей. Ответ: 2 дня.