8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №444 из 8 в 9 класс 2017 год

Сложность:
Дата экзамена: 2017
СкачатьПечать
youit.school ©

444 ШКОЛА


2017 год


Время на выполнение работы – 120 минут



  1. Вычислить: $\left(22^{3}-28^{3}\right): 6-3 \times 22 \times 28$
  2. Упростить выражение: $\quad\left(c-\frac{c^{3}+8}{2 c+c^{2}}\right) \cdot \frac{c}{c^{2}-4 c+4}+\frac{2}{2-c}$
  3. Решить уравнение $x^{2}-15 x+q=0$, если известно, что его корни $x_{1}, x_{2}$ связаны соотношением $\frac{1}{\chi_{1}}+\frac{1}{\chi_{2}}=\frac{5}{12}$
  4. Решить уравнение: $\sqrt{\mathrm{X}-3} \cdot\left(3 \mathrm{X}^{2}-14 \mathrm{X}+8\right)=0$
  5. Решить неравенства:
    1. $\frac{\left(x^{2}-1\right) \cdot\left(2 x^{2}-5 x-7\right)}{2-x} \leq 0$
    2. $x^{2}-3 x+2 \geq|x-5|$
  6. Нарисовать на плоскости множество точек, удовлетворяющих условию: $$ \frac{\left(x^{2}-4\right) \cdot(y-x+1)}{x-2}=0 $$
  7. Наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$ равно $\frac{a b}{3} .$ Найдите их наибольший общий делитель.
  8. При каких значениях $k$ прямая $y=2 x-3$ имеет с параболой $y=(x-k)^{2}$ хотя бы одну общую точку?
  9. При каких значениях $x$ и у выражение $5 x^{2}-4 x+y^{2}+2 x y+1$ принимает наименьшее значение?
  10. Найти расстояние от начала координат до прямой $y=2-2 x$
  11. На окружности взяли 7 точек и провели через них всевозможные хорды. Сколько всего хорд провели?
  12. Четырехугольник $A B C D$ трапеция $(A D / / B C)$. Известно, что $\frac{S_{V A O D}}{S_{V B O C}}=16$. Найти $\frac{B C}{A D} .$
  13. Стороны треугольника равны $\sqrt{2}, \sqrt{7}, 3 .$ Найдите площадь треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислить: $\left(22^{3}-28^{3}\right): 6-3 \times 22 \times 28$
    Решение: Используем формулу разности кубов:
    $22^3 - 28^3 = (22 - 28)(22^2 + 22 \cdot 28 + 28^2) = (-6)(484 + 616 + 784) = -6 \cdot 1884 = -11304$
    $-11304 : 6 = -1884$
    $3 \cdot 22 \cdot 28 = 1848$
    $-1884 - 1848 = -3732$
    Ответ: $-3732$.
  2. Упростить выражение: $\left(c-\frac{c^{3}+8}{2 c+c^{2}}\right) \cdot \frac{c}{c^{2}-4 c+4}+\frac{2}{2-c}$
    Решение: Упростим дробь:
    $\frac{c^3 + 8}{2c + c^2} = \frac{(c + 2)(c^2 - 2c + 4)}{c(c + 2)} = \frac{c^2 - 2c + 4}{c}$
    Выражение в скобках:
    $c - \frac{c^2 - 2c + 4}{c} = \frac{c^2 - (c^2 - 2c + 4)}{c} = \frac{2c - 4}{c} = \frac{2(c - 2)}{c}$
    Умножим на $\frac{c}{(c - 2)^2}$:
    $\frac{2(c - 2)}{c} \cdot \frac{c}{(c - 2)^2} = \frac{2}{c - 2}$
    Добавим $\frac{2}{2 - c} = -\frac{2}{c - 2}$:
    $\frac{2}{c - 2} - \frac{2}{c - 2} = 0$
    Ответ: $0$.
  3. Решить уравнение $x^{2}-15 x+q=0$, если известно, что его корни $x_{1}, x_{2}$ связаны соотношением $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{5}{12}$
    Решение: По теореме Виета:
    $x_1 + x_2 = 15$, $x_1 x_2 = q$
    $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{15}{q} = \frac{5}{12} \Rightarrow q = 36$
    Уравнение: $x^2 - 15x + 36 = 0$
    Корни: $x = \frac{15 \pm 9}{2} = 12$ и $3$
    Ответ: $q = 36$.
  4. Решить уравнение: $\sqrt{x-3} \cdot\left(3 x^{2}-14 x+8\right)=0$
    Решение: Произведение равно нулю, если:
    1. $\sqrt{x - 3} = 0 \Rightarrow x = 3$
    2. $3x^2 - 14x + 8 = 0$
    Дискриминант: $D = 196 - 96 = 100$
    Корни: $x = \frac{14 \pm 10}{6} = 4$ и $\frac{2}{3}$
    Проверка ОДЗ для корня: $x \geq 3$. Подходит $x = 4$
    Ответ: $3$, $4$.
  5. Решить неравенства:
    1. $\frac{\left(x^{2}-1\right) \cdot\left(2 x^{2}-5 x-7\right)}{2-x} \leq 0$
      Решение: Разложим на множители:
      $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
      $2x^2 - 5x - 7 = (2x - 7)(x + 1)$
      Метод интервалов для точек $-1$, $1$, $2$, $3.5$:
      Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, 2) \cup [3.5, +\infty)$
    2. $x^{2}-3 x+2 \geq|x-5|$
      Решение: Рассмотрим два случая:
      1. $x \geq 5$: $x^2 - 4x + 7 \geq 0$ — верно всегда
      2. $x < 5$: $x^2 - 2x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \leq -1$ или $x \geq 3$
      Объединение: $x \leq -1$ или $x \geq 3$
      Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$
  6. Нарисовать на плоскости множество точек, удовлетворяющих условию:
    $\frac{\left(x^{2}-4\right) \cdot(y-x+1)}{x-2}=0$
    Решение: Уравнение выполняется при:
    1. $x = -2$ (любое $y$)
    2. $y = x - 1$ при $x \neq 2$
    Ответ: Прямые $x = -2$ и $y = x - 1$ (исключая точку $(2, 1)$)
  7. Наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$ равно $\frac{a b}{3}$. Найдите их наибольший общий делитель.
    Решение: Из формулы $\text{НОК}(a, b) \cdot \text{НОД}(a, b) = ab$:
    $\frac{ab}{3} \cdot \text{НОД} = ab \Rightarrow \text{НОД} = 3$
    Ответ: $3$
  8. При каких значениях $k$ прямая $y=2 x-3$ имеет с параболой $y=(x-k)^{2}$ хотя бы одну общую точку?
    Решение: Приравняем уравнения:
    $(x - k)^2 = 2x - 3$
    $x^2 - (2k + 2)x + k^2 + 3 = 0$
    Дискриминант: $D = 8k - 8 \geq 0 \Rightarrow k \geq 1$
    Ответ: $k \geq 1$
  9. При каких значениях $x$ и $y$ выражение $5 x^{2}-4 x+y^{2}+2 x y+1$ принимает наименьшее значение?
    Решение: Представим выражение как сумму квадратов:
    $(y + x)^2 + (2x - 1)^2$
    Минимум достигается при $y + x = 0$ и $2x - 1 = 0$:
    $x = \frac{1}{2}$, $y = -\frac{1}{2}$
    Ответ: $x = 0.5$, $y = -0.5$
  10. Найти расстояние от начала координат до прямой $y=2-2 x$
    Решение: Формула расстояния:
    $\frac{|2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
    Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
  11. На окружности взяли 7 точек и провели через них всевозможные хорды. Сколько всего хорд провели?
    Решение: Число хорд равно числу сочетаний из 7 по 2:
    $C(7, 2) = 21$
    Ответ: $21$
  12. Четырехугольник $ABCD$ — трапеция $(AD \parallel BC)$. Известно, что $\frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOC}} = 16$. Найти $\frac{BC}{AD}$.
    Решение: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
    $\frac{BC}{AD} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$
    Ответ: $\frac{1}{4}$
  13. Стороны треугольника равны $\sqrt{2}, \sqrt{7}, 3$. Найдите площадь треугольника.
    Решение: Проверим на прямоугольность:
    $(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{7})^2 = 2 + 7 = 9 = 3^2$
    Площадь: $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{7} = \frac{\sqrt{14}}{2}$
    Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{2}$
Материалы школы Юайти