Школа №444 из 8 в 9 класс 2016 год

444 ШКОЛА

2016 год

1. Вычислить: $\left(12^{3}-28^{3}\right): 16-3 \cdot 12 \cdot 28$
2. Решить уравнение: \begin{AutoMultiColItemizeThird}
3. $2 y^{2}+3 y=0 ;$
4. $x^{2}-5 x-7=0 ;$
5. $4 y^{2}-10 y+6=0 .$ \end{AutoMultiColItemizeThird}
6. Упростить выражение: $$ \left(\frac{y-2}{y+2}+\frac{y+2}{y-2}\right): \frac{2 y^{2}+8}{y^{2}+4 y+4} ; $$
7. Построить график функции: $\quad y=\frac{x^{2}-2 x+1}{2 x-2}$
8. Сократить дробь: $\frac{y^{2}-13}{\sqrt{13}-y}$
9. При каких значениях параметра“ $m$ " уравнение имеет единственный корень: $(m+3) x^{2}-6 x+2=0$.
10. Вычислить: $(2 \sqrt{2}-3) \sqrt{17+12 \sqrt{2}}$
11. При каких значениях переменной выражение имеет смысл: $\sqrt{8-3 a}+\frac{5 a^{2}-1}{\sqrt{a+7}}$.
12. Периметр прямоугольника равен 62 см. Найдите стороны этого прямоугольника, если его диагональ равна 24 см.
13. Основания прямоугольной трапеции равны 26 см и 36 см, а большая диагональ является биссектрисой острого угла. Найти периметр трапеции.

Решения задач

1. Вычислить: $\left(12^{3}-28^{3}\right): 16-3 \cdot 12 \cdot 28$
   Решение: Воспользуемся формулой разности кубов:
   $12^3 - 28^3 = (12 - 28)(12^2 + 12 \cdot 28 + 28^2) = (-16)(144 + 336 + 784) = -16 \cdot 1264 = -20224$
   Выполним деление: $-20224 : 16 = -1264$
   Вычислим вторую часть: $3 \cdot 12 \cdot 28 = 1008$
   Итоговый результат: $-1264 - 1008 = -2272$
   Ответ: $-2272$.
   
   
2. Решить уравнение:
   1. $2 y^{2}+3 y=0$
      Решение: Вынесем общий множитель:
      $y(2y + 3) = 0 \Rightarrow y = 0$ или $2y + 3 = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}$
      Ответ: $0; -\frac{3}{2}$.
      
      
   2. $x^{2}-5 x-7=0$
      Решение: Найдем дискриминант:
      $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 25 + 28 = 53$
      Корни: $x = \frac{5 \pm \sqrt{53}}{2}$
      Ответ: $\frac{5 \pm \sqrt{53}}{2}$.
      
      
   3. $4 y^{2}-10 y+6=0$
      Решение: Сократим коэффициенты на 2:
      $2y^2 - 5y + 3 = 0$
      $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$
      Корни: $y = \frac{5 \pm 1}{4} \Rightarrow y = 1.5$ или $y = 1$
      Ответ: $1; 1.5$.
   
   
   
3. Упростить выражение:
   $\left(\frac{y-2}{y+2}+\frac{y+2}{y-2}\right): \frac{2 y^{2}+8}{y^{2}+4 y+4}$
   Решение: Приведем дроби к общему знаменателю:
   $\frac{(y-2)^2 + (y+2)^2}{(y+2)(y-2)} \cdot \frac{(y+2)^2}{2(y^2+4)} = \frac{2y^2 + 8}{(y^2-4)} \cdot \frac{(y+2)^2}{2(y^2+4)} = \frac{(y+2)^2}{y^2-4} = \frac{y+2}{y-2}$
   Ответ: $\frac{y+2}{y-2}$.
   
   
4. Построить график функции: $\quad y=\frac{x^{2}-2 x+1}{2 x-2}$
   Решение: Упростим выражение:
   $y = \frac{(x-1)^2}{2(x-1)} = \frac{x-1}{2}$ при $x \neq 1$
   График — прямая $y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ с выколотой точкой при $x=1$
   Ответ: Прямая $y = \frac{x-1}{2}$ с исключенной точкой $(1,0)$.
   
   
5. Сократить дробь: $\frac{y^{2}-13}{\sqrt{13}-y}$
   Решение: Представим числитель как разность квадратов:
   $\frac{(y - \sqrt{13})(y + \sqrt{13})}{- (y - \sqrt{13})} = - (y + \sqrt{13})$
   Ответ: $- (y + \sqrt{13})$.
   
   
6. При каких значениях параметра $m$ уравнение имеет единственный корень: $(m+3) x^{2}-6 x+2=0$
   Решение: Рассмотрим два случая:
   1) $m+3 = 0 \Rightarrow m=-3$: уравнение становится линейным $-6x+2=0$ с единственным корнем
   2) $m+3 \neq 0$: квадратное уравнение с дискриминантом $D = 36 - 8(m+3) = 12 - 8m$
   $D = 0 \Rightarrow 12 - 8m = 0 \Rightarrow m = 1.5$
   Ответ: $m = -3$ или $m = 1.5$.
   
   
7. Вычислить: $(2 \sqrt{2}-3) \sqrt{17+12 \sqrt{2}}$
   Решение: Заметим, что $17 + 12\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^2$
   $\sqrt{17+12\sqrt{2}} = 3 + 2\sqrt{2}$
   $(2\sqrt{2} - 3)(3 + 2\sqrt{2}) = 6\sqrt{2} + 8 - 9 - 6\sqrt{2} = -1$
   Ответ: $-1$.
   
   
8. При каких значениях переменной выражение имеет смысл: $\sqrt{8-3a}+\frac{5a^{2}-1}{\sqrt{a+7}}$
   Решение: Решим систему неравенств:
   $\begin{cases} 8 - 3a \geq 0 \\ a + 7 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \leq \frac{8}{3} \\ a > -7 \end{cases}$
   Ответ: $a \in (-7; \frac{8}{3}]$.
   
   
9. Периметр прямоугольника равен 62 см. Найдите стороны этого прямоугольника, если его диагональ равна 24 см.
   Решение: Составим систему:
   $\begin{cases} 2(a + b) = 62 \\ a^2 + b^2 = 24^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a + b = 31 \\ a^2 + b^2 = 576 \end{cases}$
   $(a + b)^2 = 961 \Rightarrow a^2 + b^2 + 2ab = 961 \Rightarrow 576 + 2ab = 961 \Rightarrow ab = 192.5$
   Решая квадратное уравнение $x^2 - 31x + 192.5 = 0$, получаем корни:
   $x = \frac{31 \pm \sqrt{961 - 770}}{2} = \frac{31 \pm \sqrt{191}}{2}$
   Ответ: $\frac{31 \pm \sqrt{191}}{2}$ см.
   
   
10. Основания прямоугольной трапеции равны 26 см и 36 см, а большая диагональ является биссектрисой острого угла. Найти периметр трапеции.
    Решение: Пусть ABCD — трапеция (AD=36, BC=26). По свойству биссектрисы:
    $\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{CD} \Rightarrow \frac{AB}{36} = \frac{26}{CD}$
    Из прямоугольного треугольника ABC: $AB^2 + (AD-BC)^2 = AC^2$
    Решая систему уравнений, находим AB=24, CD=39
    Периметр: $36 + 26 + 24 + 39 = 125$ см
    Ответ: 125 см.