8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №444 из 8 в 9 класс 2016 год

Сложность:
Дата экзамена: 04.2016
СкачатьПечать
youit.school ©

444 ШКОЛА


2016 год



  1. Вычислить: \[ \frac{223 - 283}{6} - 3 \cdot 22 \cdot 28 \]

  2. Упростить выражение: \[ \left( \frac{c - c^3 + 8}{2c + c^2} \right) \cdot \frac{c}{c^2 - 4c + 4} + \frac{2}{2 - c} \]

  3. Решить уравнение \(x^2 - 15x + q = 0\), если известно, что его корни \(x_1, x_2\) связаны соотношением: \[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{5}{12} \]

  4. Решить уравнение: \[ x - 3 \cdot (3x^2 - 14x + 8) = 0 \]

  5. Решить неравенства:
    1. \[ \frac{(x^2 - 1)(2x^2 - 5x - 7)}{2 - x} \leq 0 \]
    2. \[ x^2 - 3x + 2 \geq |x - 5| \]


  6. Нарисовать на плоскости множество точек, удовлетворяющих условию: \[ \frac{(x^2 - 4)(y - x + 1)}{x - 2} = 0 \]

  7. Наименьшее общее кратное чисел \(a\) и \(b\) равно \(\dfrac{ab}{3}\). Найдите их наибольший общий делитель.

  8. При каких значениях \(k\) прямая \(y = 2x - 3\) имеет с параболой \(y = (x - k)^2\) хотя бы одну общую точку?

  9. При каких значениях \(x\) и \(y\) выражение \[ 5x^2 - 4x + y^2 + 2xy + 1 \] принимает наименьшее значение?

  10. Найти расстояние от начала координат до прямой: \[ y = 2 - 2x \]

  11. На окружности взяли 7 точек и провели через них всевозможные хорды. Сколько всего хорд провели?

  12. Четырёхугольник \(ABCD\) — трапеция (\(AD \parallel BC\)). Известно: \[ \frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOC}} = 16 \] Найти отношение \(\dfrac{BC}{AD}\).

  13. Стороны треугольника равны 2, 7 и 3. Найдите его площадь.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислить: \[ \frac{223 - 283}{6} - 3 \cdot 22 \cdot 28 \] Решение: \[ \frac{-60}{6} - 3 \cdot 616 = -10 - 1848 = -1858 \] Ответ: \(-1858\).
  2. Упростить выражение: \[ \left( \frac{c - c^3 + 8}{2c + c^2} \right) \cdot \frac{c}{c^2 - 4c + 4} + \frac{2}{2 - c} \] Решение: \[ \frac{-(c^3 - c - 8)}{c(c + 2)} \cdot \frac{c}{(c - 2)^2} - \frac{2}{c - 2} = \frac{-(c^3 - c - 8)}{(c + 2)(c - 2)^2} - \frac{2(c + 2)}{(c + 2)(c - 2)^2} \] После упрощения: \[ \frac{-3}{(c - 2)} \] Ответ: \(-\frac{3}{c - 2}\).
  3. Решить уравнение \(x^2 - 15x + q = 0\), если известно, что его корни связаны соотношением: \[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{5}{12} \] Решение: \[ \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{15}{q} = \frac{5}{12} \Rightarrow q = 36 \] Ответ: \(q = 36\).
  4. Решить уравнение: \[ x - 3 \cdot (3x^2 - 14x + 8) = 0 \] Решение: \[ -9x^2 + 43x - 24 = 0 \Rightarrow x = \frac{43 \pm \sqrt{985}}{18} \] Ответ: \(x = \frac{43 \pm \sqrt{985}}{18}\).
  5. Решить неравенства:
    1. \[ \frac{(x^2 - 1)(2x^2 - 5x - 7)}{2 - x} \leq 0 \] Решение: Метод интервалов приводит к: \[ x \in (-\infty, -1] \cup [1, 2) \cup [3.5, \infty) \] Ответ: \(x \in (-\infty, -1] \cup [1, 2) \cup [3.5, \infty)\).
    2. \[ x^2 - 3x + 2 \geq |x - 5| \] Решение: Разбор случаев приводит к: \[ x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty) \] Ответ: \(x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)\).
  6. Нарисовать на плоскости множество точек, удовлетворяющих условию: \[ \frac{(x^2 - 4)(y - x + 1)}{x - 2} = 0 \] Решение: Объединение прямых \(x = -2\) и \(y = x - 1\) с исключением точки \((2, 1)\). Ответ: Прямые \(x = -2\) и \(y = x - 1\) (исключая \((2, 1)\)).
  7. Наименьшее общее кратное чисел \(a\) и \(b\) равно \(\dfrac{ab}{3}\). Найдите их наибольший общий делитель. Решение: \[ \text{НОД}(a, b) = 3 \] Ответ: \(3\).
  8. При каких значениях \(k\) прямая \(y = 2x - 3\) имеет с параболой \(y = (x - k)^2\) хотя бы одну общую точку? Решение: \[ k \geq 1 \] Ответ: \(k \geq 1\).
  9. При каких значениях \(x\) и \(y\) выражение \[ 5x^2 - 4x + y^2 + 2xy + 1 \] принимает наименьшее значение? Решение: \[ x = \frac{1}{2}, \quad y = -\frac{1}{2} \] Ответ: \(x = \frac{1}{2}\), \(y = -\frac{1}{2}\).
  10. Найти расстояние от начала координат до прямой: \[ y = 2 - 2x \] Решение: \[ \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \] Ответ: \(\frac{2\sqrt{5}}{5}\).
  11. На окружности взяли 7 точек и провели через них всевозможные хорды. Сколько всего хорд провели? Решение: \[ \binom{7}{2} = 21 \] Ответ: \(21\).
  12. Четырёхугольник \(ABCD\) — трапеция (\(AD \parallel BC\)). Известно: \[ \frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle BOC}} = 16 \] Найти отношение \(\dfrac{BC}{AD}\). Решение: \[ \frac{BC}{AD} = \frac{1}{4} \] Ответ: \(\frac{1}{4}\).
  13. Стороны треугольника равны 2, 7 и 3. Найдите его площадь. Решение: Треугольник с такими сторонами не существует. Ответ: \(0\).
Материалы школы Юайти