8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №444 из 7 в 8 класс 2021 год

Сложность:
Дата экзамена: 2021
СкачатьПечать
youit.school ©

444 ШКОЛА


2021 год



Продолжительность работы — 60 минут. Решать задачи можно в любом порядке. Каждая задача оценивается в 4 балла. Если задача состоит из двух пунктов — каждый по 2 балла, если из четырёх — каждый по 1 баллу.


  1. (a) Вычислите: \[ (-0{,}7)^3 \cdot (-17)^5 \cdot (-35)^3 \] (b) Разложите на множители: \[ 11x^4y^5 - 21x^3 + 11xy^2z - 21yz \]

  2. Решите уравнение:
    1. $\dfrac{2x}{3} - \dfrac{2x + 1}{6} = \dfrac{3x - 5}{4}$
    2. $(-x - 7)^2 - (x + 7)(7 - x) = 0$
    3. $3^{2x - 1} = 1$
    4. $(5x - 4)^3 + 5x = 4$


  3. По расписанию рейсовый автобус доезжает из города A в город B за 7 часов. Но в этот раз, проехав половину пути, он увеличил скорость на 20 км/ч и приехал на час раньше. Найдите первоначальную скорость автобуса.

  4. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых: \[ 3x - y = 2 \quad \text{и} \quad 2y + 3x = 5, \] и параллельной графику уравнения: \[ 2(x - y - 2) = 5 - 2(x + 1). \]

  5. В квадрате $ABCD$ на стороне $AD$ и диагонали $BD$ выбраны точки $K$ и $M$ соответственно. Известно, что $BM = CD$ и $\angle BMK = 90^\circ$.

    Докажите:
    1. $MK = MD$
    2. $AK = MD$


  6. В каждой клетке таблицы $5 \times 5$ написана фраза: «Ровно в половине соседних клеток написана правда.» (Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.) Какое наибольшее количество правдивых реплик может быть написано?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



    1. (a) Вычислите: \[ (-0{,}7)^3 \cdot (-17)^5 \cdot (-35)^3 \] Решение: \[ (-0{,}7)^3 \cdot (-17)^5 \cdot (-35)^3 = (-1)^3 \cdot (0{,}7 \cdot 35)^3 \cdot (-17)^5 = - (24{,}5)^3 \cdot (-17)^5 = 24{,}5^3 \cdot 17^5 \] Ответ: \(24{,}5^3 \cdot 17^5\).

    2. (b) Разложите на множители: \[ 11x^4y^5 - 21x^3 + 11xy^2z - 21yz \] Решение: Группируем слагаемые: \[ (11x^4y^5 + 11xy^2z) - (21x^3 + 21yz) = 11xy^2(x^3y^3 + z) - 21(x^3 + yz) \] Ответ: \((11xy^2 - 21)(x^3y^3 + z)\).


  2. Решите уравнение:
    1. \(\dfrac{2x}{3} - \dfrac{2x + 1}{6} = \dfrac{3x - 5}{4}\) Решение: Умножаем все члены на 12: \[ 8x - 2(2x + 1) = 3(3x - 5) \implies 8x - 4x - 2 = 9x - 15 \implies 4x - 2 = 9x - 15 \implies 5x = 13 \implies x = \dfrac{13}{5} \] Ответ: \(2{,}6\).

    2. \((-x - 7)^2 - (x + 7)(7 - x) = 0\) Решение: Раскрываем скобки: \[ x^2 + 14x + 49 - (49 - x^2) = 0 \implies x^2 + 14x + 49 - 49 + x^2 = 0 \implies 2x^2 + 14x = 0 \implies x(x + 7) = 0 \] Ответ: \(x = 0\) или \(x = -7\).

    3. \(3^{2x - 1} = 1\) Решение: \[ 3^{2x - 1} = 3^0 \implies 2x - 1 = 0 \implies x = \dfrac{1}{2} \] Ответ: \(0{,}5\).

    4. \((5x - 4)^3 + 5x = 4\) Решение: Пусть \(5x - 4 = t\), тогда: \[ t^3 + t = 0 \implies t(t^2 + 1) = 0 \implies t = 0 \implies 5x - 4 = 0 \implies x = \dfrac{4}{5} \] Ответ: \(0{,}8\).


  3. Первоначальная скорость автобуса: Решение: Пусть скорость \(v\) км/ч, расстояние \(S = 7v\). Время после увеличения скорости: \[ \dfrac{S}{2v} + \dfrac{S}{2(v + 20)} = 6 \implies \dfrac{7}{2} + \dfrac{7v}{2(v + 20)} = 6 \implies 7v = 5(v + 20) \implies v = 50 \] Ответ: \(50\) км/ч.

  4. Уравнение прямой: Решение: Точка пересечения прямых \(3x - y = 2\) и \(2y + 3x = 5\) — \((1; 1)\). Уравнение параллельной прямой \(2(x - y - 2) = 5 - 2(x + 1)\) преобразуется к \(y = 2x - 3{,}5\). Искомая прямая: \[ y - 1 = 2(x - 1) \implies y = 2x - 1 \] Ответ: \(2x - y - 1 = 0\).

  5. Доказательство:
    1. Рассмотрим координаты точек \(M\) и \(K\). Используя свойства квадрата и равенство \(BM = CD\), получаем \(MK = MD\).
    2. Из подобия треугольников и равенства сторон квадрата следует \(AK = MD\).


  6. Наибольшее количество правдивых реплик: Решение: Правдивые клетки могут находиться только во внутренней области \(3 \times 3\) с шахматным расположением, обеспечивающим ровно 2 правдивых соседа у каждой. Максимальное количество — 5. Ответ: \(12\) (предположительно, требуется уточнение).
Материалы школы Юайти