Школа №444 из 7 в 8 класс 2017 год

444 ШКОЛА

2017 год

75 минут

1. Вычислить: $\frac{\left(4 \cdot 3^{17}-3^{16}\right) \cdot 242}{\left(11 \cdot 3^{5}\right)^{3} \cdot(-2)^{3}}$
2. Сократите дробь: $\frac{b(b-2)-c(c-2)}{b^{3}-c^{3}}$
3. Решить уравнение: $x-\frac{20 x-(10-3 x)}{156}=\frac{26 x-51}{52}-\frac{2(1-3 x)}{13}$
4. Решить систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}\frac{3 x-1}{5}+3 y-4=15 \\ \frac{3 y-5}{6}+2 x-8=7 \frac{2}{3}\end{array}\right.$
5. Определите линейную функцию, если ее график удовлетворяет условиям:
   - он параллелен графику функции $y=-3 x-7$
   - он проходит через точку пересечения прямых, заданных уравнениями: $y=-2 x+2$ и $y=3 x-13$.
6. Избирательная комиссия после выборов недосчиталась $20 \%$ бюллетеней от числа всех проголосовавших. Спустя некоторое время нашли $70 \%$ пропавших бюллетеней, а затем еще $5 \%$ от числа всех голосовавших. Все ли пропавшие бюллетени нашли?
7. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 5 и $2 .$ Найдите угол между биссектрисами неравных углов.
8. В прямоугольном треугольнике $A B C$ с углом $A$, равным $30^{\circ}$, к гипотенузе $A C$ проведена высота $B H .$ На стороне $B C$ выбрана точка $K$ так, что $K C=H C .$ Лучи $A B$ и НK пересекаются в точке $N .$ Найти отношение отрезков $A H$ и $K N .$
9. Докажите, что выражение $9 x^{2}+8 y-6 x y+y^{2}+18-24 x$ принимает положительные значения при любых значениях переменных $x$ и $y .$
10. На складе имеется 33 коробки массой 19 кг каждая и 27 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки разложили в два штабеля. Обозначим за $\mathrm{S}_{1}$ и $\mathrm{S}_{2}$ суммарные массы коробок в первом и втором штабеле соответственно, и пусть $A=\left|\mathrm{S}_{1}-\mathrm{S}_{2}\right|$.
    1. Найдите наименьшее возможное значение числа $A$, если в каждом штабеле находится 30 коробок.
    2. Может ли $A$ равняться нулю, если коробки распределены по штабелям не обязательно поровну?

1. Задача. Вычислить значение выражения $\dfrac{\left(4\cdot 3^{17}-3^{16}\right)\cdot 242}{\left(11\cdot 3^{5}\right)^{3}\cdot(-2)^{3}}$.
   Решение. В числителе $4\cdot 3^{17}-3^{16}=3^{16}(4\cdot 3-1)=11\cdot 3^{16}$. Тогда \[ \dfrac{11\cdot 3^{16}\cdot 242}{(11\cdot 3^{5})^{3}\cdot(-2)^{3}} =\dfrac{11\cdot 3^{16}\cdot 242}{11^{3}\cdot 3^{15}\cdot(-8)} =\dfrac{242\cdot 3}{11^{2}\cdot(-8)} =\dfrac{242}{121}\cdot\dfrac{3}{-8} =-\dfrac{3}{4}. \]
   Ответ. $-\dfrac{3}{4}$.
2. Задача. Сократить дробь $\dfrac{b(b-2)-c(c-2)}{b^{3}-c^{3}}$.
   Решение. Числитель равен $b^{2}-2b-(c^{2}-2c)=(b^{2}-c^{2})-2(b-c)=(b-c)(b+c-2)$. Знаменатель раскладывается по формуле разности кубов: $b^{3}-c^{3}=(b-c)(b^{2}+bc+c^{2})$. Сокращая на $(b-c)$ (при $b\neq c$), получаем \[ \dfrac{b(b-2)-c(c-2)}{b^{3}-c^{3}}=\dfrac{b+c-2}{b^{2}+bc+c^{2}}. \]
   Ответ. $\dfrac{b+c-2}{b^{2}+bc+c^{2}}$.
3. Задача. Решить уравнение $x-\dfrac{20x-(10-3x)}{156}=\dfrac{26x-51}{52}-\dfrac{2(1-3x)}{13}$.
   Решение. Сначала упростим: $20x-(10-3x)=23x-10$, а $\dfrac{2(1-3x)}{13}=\dfrac{2-6x}{13}$. Умножим уравнение на $156$: \[ 156x-(23x-10)=156\cdot\dfrac{26x-51}{52}-156\cdot\dfrac{2-6x}{13}. \] Так как $156/52=3$, а $156/13=12$, получаем $133x+10=(78x-153)-(24-72x)=150x-177$. Тогда $133x+10=150x-177$, откуда $17x=187$ и $x=11$.
   Ответ. $11$.
4. Задача. Решить систему $\left\{\begin{array}{l} \dfrac{3x-1}{5}+3y-4=15,\\ \dfrac{3y-5}{6}+2x-8=7\dfrac{2}{3}. \end{array}\right.$
   Решение. Из первого уравнения: $\dfrac{3x-1}{5}+3y=19$, умножим на $5$: $3x-1+15y=95$, то есть $x+5y=32$. Во втором уравнении $7\dfrac{2}{3}=\dfrac{23}{3}$, поэтому $\dfrac{3y-5}{6}+2x=\dfrac{23}{3}+8=\dfrac{47}{3}$. Умножим на $6$: $3y-5+12x=94$, то есть $4x+y=33$. Подставим $x=32-5y$ во второе: $4(32-5y)+y=33$, получаем $128-19y=33$, откуда $y=5$ и $x=7$.
   Ответ. $x=7,\ y=5$.
5. Задача. Найти линейную функцию, график которой параллелен графику $y=-3x-7$ и проходит через точку пересечения прямых $y=-2x+2$ и $y=3x-13$.
   Решение. Параллельные прямые имеют одинаковый коэффициент наклона, значит искомая функция имеет вид $y=-3x+b$. Найдём точку пересечения заданных прямых: $-2x+2=3x-13$, отсюда $15=5x$ и $x=3$, тогда $y=-2\cdot 3+2=-4$. Подставим точку $(3,-4)$ в $y=-3x+b$: $-4=-9+b$, значит $b=5$.
   Ответ. $y=-3x+5$.
6. Задача. После выборов недосчитались $20\%$ бюллетеней от числа всех проголосовавших. Потом нашли $70\%$ пропавших бюллетеней, а затем ещё $5\%$ от числа всех голосовавших. Все ли пропавшие бюллетени нашли?
   Решение. Изначально пропало $20\%$ бюллетеней. Нашли $70\%$ от пропавших, то есть $0{,}7\cdot 20\%=14\%$ от общего числа, осталось $20\%-14\%=6\%$. Затем нашли ещё $5\%$ от общего числа, значит осталось $6\%-5\%=1\%$ бюллетеней.
   Ответ. Нет, осталось $1\%$ бюллетеней.
7. Задача. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам $5$ и $2$. Найти угол между биссектрисами неравных углов.
   Решение. Пусть равные углы равнобедренного треугольника равны $\alpha$, а вершины̆ угол равен $\beta$, тогда $2\alpha+\beta=180^\circ$. Так как пропорция $5:2$ относится к неравным углам, возможны два случая: $\beta:\alpha=5:2$ или $\alpha:\beta=5:2$. В первом случае $\beta=\dfrac{5}{2}\alpha$, тогда $2\alpha+\dfrac{5}{2}\alpha=180^\circ$, откуда $\alpha=40^\circ$. Во втором случае $\alpha=\dfrac{5}{2}\beta$, тогда $2\cdot\dfrac{5}{2}\beta+\beta=180^\circ$, откуда $\alpha=75^\circ$. Пусть биссектрисы неравных углов пересекаются в точке $I$. Тогда угол между ними равен \[ \angle AIB=180^\circ-\left(\dfrac{\angle A}{2}+\dfrac{\angle B}{2}\right)=90^\circ+\dfrac{\angle C}{2}. \] Если берём биссектрисы углов $\beta$ и $\alpha$, то третий угол тоже равен $\alpha$, значит искомый угол равен $90^\circ+\dfrac{\alpha}{2}$. Получаем $90^\circ+20^\circ=110^\circ$ или $90^\circ+37{,}5^\circ=127{,}5^\circ$.
   Ответ. $110^\circ$ или $127{,}5^\circ$.
8. Задача. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle B=90^\circ$) дано $\angle A=30^\circ$, к гипотенузе $AC$ проведена высота $BH$. На стороне $BC$ выбрана точка $K$ так, что $KC=HC$. Лучи $AB$ и $HK$ пересекаются в точке $N$. Найти отношение $AH:KN$.
   Решение. Так как $\angle A=30^\circ$, то $\angle C=60^\circ$, а катет $BC$, лежащий напротив угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы: $BC=\dfrac{AC}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$: $\angle BHC=90^\circ$, а $\angle BCH=\angle C=60^\circ$, значит $\angle HBC=30^\circ$. Тогда в треугольнике $BHC$ катет $HC$ (напротив $30^\circ$) равен половине гипотенузы $BC$, то есть $HC=\dfrac{BC}{2}$. Из условия $KC=HC$ получаем $KC=\dfrac{BC}{2}$, значит $K$ – середина $BC$, и $BK=\dfrac{BC}{2}$. В треугольнике $HCK$ имеем $HC=KC$ и $\angle HCK=\angle C=60^\circ$, поэтому $60^\circ+2\angle CHK=180^\circ$, откуда $\angle CHK=60^\circ$, то есть $\angle HKC=60^\circ$. Следовательно, угол между $HK$ и $BC$ равен $60^\circ$, значит в треугольнике $BKN$ угол при $K$ равен $60^\circ$, а угол при $B$ равен $90^\circ$, поэтому $\angle BNK=30^\circ$. Тогда $BK$ (напротив $30^\circ$) равен половине гипотенузы $KN$, то есть $KN=2BK=BC$. Теперь $AH=AC-HC=2BC-\dfrac{BC}{2}=\dfrac{3}{2}BC$. Значит \[ \dfrac{AH}{KN}=\dfrac{\dfrac{3}{2}BC}{BC}=\dfrac{3}{2}. \]
   Ответ. $AH:KN=3:2$.
9. Задача. Доказать, что выражение $9x^{2}+8y-6xy+y^{2}+18-24x$ положительно при любых значениях $x$ и $y$.
   Решение. Сгруппируем и дополним до квадрата: \[ 9x^{2}-6xy+y^{2}-24x+8y+18=(3x-y)^{2}-8(3x-y)+18. \] Тогда \[ (3x-y)^{2}-8(3x-y)+18=(3x-y-4)^{2}+2. \] Квадрат неотрицателен при любых $x$ и $y$, значит всё выражение не меньше $2$, то есть всегда положительно.
   Ответ. Всегда $>0$ (минимальное значение равно $2$).
10. Задача. Есть $33$ коробки массой $19$ кг и $27$ коробок массой $49$ кг. Их разложили в два штабеля с массами $S_1$ и $S_2$, $A=|S_1-S_2|$. а) Найти наименьшее возможное $A$, если в каждом штабеле по $30$ коробок. б) Может ли $A$ равняться нулю, если коробки распределены по штабелям не обязательно поровну?
    Решение. а) Пусть в первом штабеле $x$ коробок по $49$ кг, тогда по $19$ кг там $30-x$ коробок. Получаем $S_1=49x+19(30-x)=570+30x$. Во втором штабеле $27-x$ коробок по $49$ кг и $33-(30-x)=3+x$ коробок по $19$ кг, значит $S_2=49(27-x)+19(3+x)=1380-30x$. Тогда \[ A=|S_1-S_2|=|60x-810|=60\left|x-\dfrac{27}{2}\right|. \] Минимум достигается при $x=13$ или $x=14$, тогда $\left|x-\dfrac{27}{2}\right|=\dfrac{1}{2}$ и $A_{\min}=30$ кг. б) Общая масса равна $33\cdot 19+27\cdot 49=1950$ кг, половина равна $975$ кг. Нужно проверить, можно ли набрать $975$ кг из коробок масс $19$ и $49$: $49x+19y=975$. Так как $y\le 33$, то масса коробок по $19$ кг не больше $33\cdot 19=627$ кг, значит нужно $49x\ge 975-627=348$, то есть $x\ge 8$, а также $49x\le 975$, то есть $x\le 19$. Проверка $x=8,9,\dots,19$ показывает, что число $975-49x$ ни разу не делится на $19$, а единственное целое решение даёт $x=4$, $y=41$, что невозможно (нет $41$ коробки по $19$ кг в одном штабеле). Следовательно, поровну по массе разложить нельзя.
    Ответ. а) $30$ кг. б) Нет, $A=0$ получить нельзя.