Школа №444 из 7 в 8 класс 2017 год

444 ШКОЛА

2017 год

Вариант 1

1. Найти значение выражения $\frac{\left(8^{3}\right)^{3} \cdot 8^{4}}{8^{12}}+(-1)^{5}+(-3)^{0}$
2. Выполнить действия с одночленами: $0,5 a^{2} b \cdot\left(-2 b^{3} a\right)^{2}$
3. Выполните действия, используя формулы сокращённого умножения
   1. $\frac{63^{2}-27^{2}}{83^{2}-79^{2}} ;$
   2. $0,28^{2}+2 \cdot 0,28 \cdot 0,12+0,12^{2}$
4. Разложить на множители:
   1. $a^{2}-6 a+9 ;$
   2. $28 x^{5}-7 x^{3} ;$
   3. $3 a^{2}-2 a-12 b^{2}+4 b$;
5. Решить уравнение:
   1. $(2 x-3)^{2}+(3-4 x)(x+5)=88$;
   2. $\frac{x+14}{6}-\frac{x-12}{8}=3$.
6. Построить график функции
   1. $y=-3 x+4 ;$
   2. задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен $y=-3 x+4$ и проходит через точку $(1 ;-2)$.
7. В треугольнике $A B C$ угол $B$ составляет $30 \%$ угла $A$, а угол $C$ на $19^{\circ}$ больше угла А. Найти углы треугольника $A B C$.
8. В прямоугольном треугольнике $K N M$ угол $K$ равен $90^{\circ}$, внешний угол при вершине $M$ равен $150^{\circ}$, катет $K N=6$ см. Найти длину гипотенузы.
9. В окружности с центром $O$ проведена хорда $A B$ и радиус $O C$, который перпендикулярен $A B$. Докажите, что хорды $A C$ и $B C$ равны.

Решения задач

1. Найти значение выражения $\frac{\left(8^{3}\right)^{3} \cdot 8^{4}}{8^{12}}+(-1)^{5}+(-3)^{0}$
   Решение:
   $\frac{8^{9} \cdot 8^{4}}{8^{12}} = \frac{8^{13}}{8^{12}} = 8^{1} = 8$
   $(-1)^{5} = -1$
   $(-3)^{0} = 1$
   $8 + (-1) + 1 = 8$
   Ответ: 8.
   
   
2. Выполнить действия с одночленами: $0,5 a^{2} b \cdot\left(-2 b^{3} a\right)^{2}$
   Решение:
   $\left(-2 b^{3} a\right)^{2} = 4a^{2}b^{6}$
   $0,5a^{2}b \cdot 4a^{2}b^{6} = 2a^{4}b^{7}$
   Ответ: $2a^{4}b^{7}$.
   
   
3. Выполните действия, используя формулы сокращённого умножения
   1. $\frac{63^{2}-27^{2}}{83^{2}-79^{2}}$
      Решение:
      $\frac{(63-27)(63+27)}{(83-79)(83+79)} = \frac{36 \cdot 90}{4 \cdot 162} = \frac{3240}{648} = 5$
      Ответ: 5.
      
      
   2. $0,28^{2}+2 \cdot 0,28 \cdot 0,12+0,12^{2}$
      Решение:
      $(0,28 + 0,12)^{2} = 0,4^{2} = 0,16$
      Ответ: 0,16.
   
   
   
4. Разложить на множители:
   1. $a^{2}-6 a+9$
      Решение:
      $(a-3)^{2}$
      Ответ: $(a-3)^{2}$.
      
      
   2. $28 x^{5}-7 x^{3}$
      Решение:
      $7x^{3}(4x^{2}-1) = 7x^{3}(2x-1)(2x+1)$
      Ответ: $7x^{3}(2x-1)(2x+1)$.
      
      
   3. $3 a^{2}-2 a-12 b^{2}+4 b$
      Решение:
      $(3a^{2}-12b^{2}) - (2a-4b) = 3(a^{2}-4b^{2}) - 2(a-2b) = 3(a-2b)(a+2b) - 2(a-2b) = (a-2b)(3a+6b-2)$
      Ответ: $(a-2b)(3a+6b-2)$.
   
   
   
5. Решить уравнение:
   1. $(2 x-3)^{2}+(3-4 x)(x+5)=88$
      Решение:
      $4x^{2}-12x+9 + (-4x^{2}-17x+15) = 88$
      $-29x + 24 = 88$
      $-29x = 64$
      $x = -\frac{64}{29}$
      Ответ: $-\frac{64}{29}$.
      
      
   2. $\frac{x+14}{6}-\frac{x-12}{8}=3$
      Решение:
      Умножим обе части на 24:
      $4(x+14) - 3(x-12) = 72$
      $4x + 56 - 3x + 36 = 72$
      $x + 92 = 72$
      $x = -20$
      Ответ: $-20$.
   
   
   
6. Построить график функции
   1. $y=-3 x+4$
      Решение:
      График — прямая, проходящая через точки:
      При $x=0$: $y=4$ (0;4)
      При $x=1$: $y=1$ (1;1)
      
      
   2. задайте формулой линейную функцию, график которой параллелен $y=-3 x+4$ и проходит через точку $(1 ;-2)$
      Решение:
      Угловой коэффициент равен -3. Подставим координаты точки:
      $-2 = -3 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 1$
      Ответ: $y = -3x + 1$.
   
   
   
7. В треугольнике $A B C$ угол $B$ составляет $30 \%$ угла $A$, а угол $C$ на $19^{\circ}$ больше угла А. Найти углы треугольника $A B C$
   Решение:
   Пусть $\angle A = x$, тогда:
   $\angle B = 0,3x$
   $\angle C = x + 19^{\circ}$
   $x + 0,3x + x + 19 = 180$
   $2,3x = 161$
   $x = 70^{\circ}$
   $\angle A = 70^{\circ}$, $\angle B = 21^{\circ}$, $\angle C = 89^{\circ}$
   Ответ: $70^{\circ}$, $21^{\circ}$, $89^{\circ}$.
   
   
8. В прямоугольном треугольнике $K N M$ угол $K$ равен $90^{\circ}$, внешний угол при вершине $M$ равен $150^{\circ}$, катет $K N=6$ см. Найти длину гипотенузы
   Решение:
   Внутренний угол при вершине M: $180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$
   Гипотенуза $KM = \frac{KN}{\sin 30^{\circ}} = \frac{6}{0,5} = 12$ см
   Ответ: 12 см.
   
   
9. В окружности с центром $O$ проведена хорда $A B$ и радиус $O C$, который перпендикулярен $A B$. Докажите, что хорды $A C$ и $B C$ равны
   Доказательство:
   Так как $OC \perp AB$, то $OC$ — серединный перпендикуляр к $AB$. Следовательно, $AC = BC$ как равные отрезки в равных треугольниках $AOC$ и $BOC$ (по катету $OC$ и гипотенузе $OA = OB$ как радиусы).
   Ответ: Хорды равны, так как треугольники $AOC$ и $BOC$ равны.