Школа №444 из 7 в 8 класс 2017 год

444 ШКОЛА

2017 год

75 минут

1. Вычислить: $\frac{\left(4 \cdot 3^{17}-3^{16}\right) \cdot 242}{\left(11 \cdot 3^{5}\right)^{3} \cdot(-2)^{3}}$
2. Сократите дробь: $\frac{b(b-2)-c(c-2)}{b^{3}-c^{3}}$
3. Решить уравнение: $x-\frac{20 x-(10-3 x)}{156}=\frac{26 x-51}{52}-\frac{2(1-3 x)}{13}$
4. Решить систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}\frac{3 x-1}{5}+3 y-4=15 \\ \frac{3 y-5}{6}+2 x-8=7 \frac{2}{3}\end{array}\right.$
5. Определите линейную функцию, если ее график удовлетворяет условиям:
   - он параллелен графику функции $y=-3 x-7$
   - он проходит через точку пересечения прямых, заданных уравнениями: $y=-2 x+2$ и $y=3 x-13$.
6. Избирательная комиссия после выборов недосчиталась $20 \%$ бюллетеней от числа всех проголосовавших. Спустя некоторое время нашли $70 \%$ пропавших бюллетеней, а затем еще $5 \%$ от числа всех голосовавших. Все ли пропавшие бюллетени нашли?
7. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 5 и $2 .$ Найдите угол между биссектрисами неравных углов.
8. В прямоугольном треугольнике $A B C$ с углом $A$, равным $30^{\circ}$, к гипотенузе $A C$ проведена высота $B H .$ На стороне $B C$ выбрана точка $K$ так, что $K C=H C .$ Лучи $A B$ и НK пересекаются в точке $N .$ Найти отношение отрезков $A H$ и $K N .$
9. Докажите, что выражение $9 x^{2}+8 y-6 x y+y^{2}+18-24 x$ принимает положительные значения при любых значениях переменных $x$ и $y .$
10. На складе имеется 33 коробки массой 19 кг каждая и 27 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки разложили в два штабеля. Обозначим за $\mathrm{S}_{1}$ и $\mathrm{S}_{2}$ суммарные массы коробок в первом и втором штабеле соответственно, и пусть $A=\left|\mathrm{S}_{1}-\mathrm{S}_{2}\right|$.
    1. Найдите наименьшее возможное значение числа $A$, если в каждом штабеле находится 30 коробок.
    2. Может ли $A$ равняться нулю, если коробки распределены по штабелям не обязательно поровну?

Решения задач

1. Вычислить: $\frac{\left(4 \cdot 3^{17}-3^{16}\right) \cdot 242}{\left(11 \cdot 3^{5}\right)^{3} \cdot(-2)^{3}}$
   Решение:
   Упростим числитель:
   $4 \cdot 3^{17} - 3^{16} = 3^{16}(4 \cdot 3 - 1) = 3^{16} \cdot 11$
   Числитель: $3^{16} \cdot 11 \cdot 242 = 3^{16} \cdot 11 \cdot 11 \cdot 22 = 3^{16} \cdot 11^2 \cdot 22$
   Знаменатель: $(11 \cdot 3^5)^3 \cdot (-8) = 11^3 \cdot 3^{15} \cdot (-8)$
   Подставим:
   $\frac{3^{16} \cdot 11^2 \cdot 22}{11^3 \cdot 3^{15} \cdot (-8)} = \frac{3 \cdot 22}{11 \cdot (-8)} = \frac{66}{-88} = -\frac{3}{4}$
   Ответ: $-\frac{3}{4}$.
   
   
2. Сократите дробь: $\frac{b(b-2)-c(c-2)}{b^{3}-c^{3}}$
   Решение:
   Преобразуем числитель:
   $b^2 - 2b - c^2 + 2c = (b^2 - c^2) - 2(b - c) = (b - c)(b + c - 2)$
   Знаменатель: $b^3 - c^3 = (b - c)(b^2 + bc + c^2)$
   Сокращаем на $(b - c)$:
   $\frac{b + c - 2}{b^2 + bc + c^2}$
   Ответ: $\frac{b + c - 2}{b^2 + bc + c^2}$.
   
   
3. Решить уравнение: $x-\frac{20 x-(10-3 x)}{156}=\frac{26 x-51}{52}-\frac{2(1-3 x)}{13}$
   Решение:
   Упростим левую часть:
   $x - \frac{23x - 10}{156} = \frac{133x + 10}{156}$
   Упростим правую часть:
   $\frac{26x - 51}{52} - \frac{2 - 6x}{13} = \frac{150x - 177}{156}$
   Получаем уравнение:
   $\frac{133x + 10}{156} = \frac{150x - 177}{156}$
   $133x + 10 = 150x - 177 \Rightarrow -17x = -187 \Rightarrow x = 11$
   Ответ: 11.
   
   
4. Решить систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}\frac{3 x-1}{5}+3 y-4=15 \\ \frac{3 y-5}{6}+2 x-8=7 \frac{2}{3}\end{array}\right.$
   Решение:
   Преобразуем первое уравнение:
   $\frac{3x - 1}{5} = 19 - 3y \Rightarrow 3x + 15y = 96 \Rightarrow x + 5y = 32$
   Преобразуем второе уравнение:
   $\frac{3y - 5}{6} = \frac{23}{3} - 2x \Rightarrow 12x + 3y = 99 \Rightarrow 4x + y = 33$
   Решаем систему:
   $\begin{cases} x + 5y = 32 \\ 4x + y = 33 \end{cases}$
   Умножаем второе уравнение на 5 и вычитаем первое:
   $19x = 133 \Rightarrow x = 7$
   Подставляем $x = 7$ во второе уравнение:
   $4 \cdot 7 + y = 33 \Rightarrow y = 5$
   Ответ: $(7; 5)$.
   
   
5. Определите линейную функцию, если ее график параллелен $y = -3x - 7$ и проходит через точку пересечения $y = -2x + 2$ и $y = 3x - 13$.
   Решение:
   Уравнение искомой прямой: $y = -3x + b$.
   Найдем точку пересечения данных прямых:
   $-2x + 2 = 3x - 13 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow y = -4$
   Подставляем $(3; -4)$ в уравнение:
   $-4 = -3 \cdot 3 + b \Rightarrow b = 5$
   Ответ: $y = -3x + 5$.
   
   
6. Избирательная комиссия недосчиталась $20\%$ бюллетеней. Нашли $70\%$ пропавших и $5\%$ от общего числа. Все ли бюллетени найдены?
   Решение:
   Пусть $N$ — общее число голосовавших. Пропало $0.2N$.
   Найдено: $0.7 \cdot 0.2N + 0.05N = 0.14N + 0.05N = 0.19N$
   Осталось: $0.2N - 0.19N = 0.01N$
   Ответ: Нет, не все.
   
   
7. Два угла равнобедренного треугольника пропорциональны числам 5 и 2. Найдите угол между биссектрисами неравных углов.
   Решение:
   Возможны два случая:
   1) Углы при основании $75^\circ$, вершина $30^\circ$. Биссектрисы углов $75^\circ$ и $30^\circ$ образуют углы $37.5^\circ$ и $15^\circ$. Угол между ними: $180^\circ - 37.5^\circ - 15^\circ = 127.5^\circ$.
   2) Углы при основании $40^\circ$, вершина $100^\circ$. Биссектрисы углов $40^\circ$ и $100^\circ$ образуют углы $20^\circ$ и $50^\circ$. Угол между ними: $180^\circ - 20^\circ - 50^\circ = 110^\circ$.
   Ответ: $127.5^\circ$ и $110^\circ$.
   
   
8. В прямоугольном треугольнике $ABC$ с углом $A = 30^\circ$ проведена высота $BH$. На $BC$ выбрана точка $K$ так, что $KC = HC$. Лучи $AB$ и $HK$ пересекаются в точке $N$. Найти отношение $AH : KN$.
   Решение:
   Пусть $BC = 2$, тогда $AB = \sqrt{3}$, $AC = 1$. Высота $BH = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $HC = \frac{1}{2}$. Точка $K$ делит $BC$ так, что $KC = HC = \frac{1}{2}$. Используя подобие треугольников, находим $KN = \frac{2}{3}AH$. Отношение $AH : KN = 3 : 2$.
   Ответ: $\frac{3}{2}$.
   
   
9. Докажите, что выражение $9x^2 + 8y - 6xy + y^2 + 18 - 24x$ положительно при любых $x$ и $y$.
   Решение:
   Преобразуем выражение:
   $(3x - y)^2 + 8(y - 3x) + 18 = (3x - y - 4)^2 + 2 \geq 2 > 0$
   Ответ: Выражение всегда положительно.
   
   
10. На складе разложили коробки в два штабеля:
    1. Минимальное значение $A$ при 30 коробках в каждом штабеле:
       Общая масса: $1950$ кг. Минимальная разница достигается при $S_1 = 975 \pm 15$. Минимум $A = 30$ кг.
       Ответ: 30.
    2. $A = 0$ невозможно, так как уравнение $19a + 49b = 975$ не имеет целых решений.
       Ответ: Нет.