Школа №444 из 6 в 7 класс 2021 год

444 ШКОЛА

2021 год

1. Вычислите:
   1. $\left(3{,}618 \div 1{,}8 - 2{,}1\right) \cdot 59 \div (-0{,}02)$
   2. $\left(238 \div \dfrac{3}{4} + 17\right) \div \left(723 - 15745 \div \dfrac{24}{5}\right)$
   
   
   
2. Решите уравнение:
   1. $\dfrac{3}{8}(x - 3) - \dfrac{1}{12}(2x - 5) = 2$
   2. $|1 - x| = 2{,}7$
   3. $\dfrac{x - 3{,}2}{2x + 1{,}4} = \dfrac{0{,}09}{0{,}27}$
   4. $(2x + 6{,}57)(|3x| + 14)(x^2 - 121) = 0$
   
   
   
3. В комнате размерами $6 \times 8$ метров положили два квадратных ковра: $4 \times 4$ и $5 \times 5$ метра. Ковры примыкают к противоположным углам комнаты. Вычислите площадь пола, не покрытого коврами.
   
   
4. Катер плыл по течению 45 минут, затем развернулся и плыл против течения ещё 1 час 15 минут. Всего катер прошёл 43 км. Скорость по течению больше скорости против течения на 20\%. Найдите скорость катера.
   
   
5. В примере цифры заменили буквами: \[ \text{Р} \div \text{О} = \text{Л,ЛЕР} \] Разные цифры — разные буквы, одинаковые — одинаковые. Восстановите пример. Найдите все решения и докажите, что других нет.
   
   
6. В таблице $5 \times 5$ в каждой клетке написана фраза: «Ровно в половине соседних клеток написана правда.» (Соседними считаются клетки с общей стороной.) Какое наибольшее количество правдивых реплик может быть?

Решения задач

1. Вычислите:
   1. $\left(3{,}618 \div 1{,}8 - 2{,}1\right) \cdot 59 \div (-0{,}02)$
      Решение:
      $3{,}618 \div 1{,}8 = 2{,}01$
      $2{,}01 - 2{,}1 = -0{,}09$
      $-0{,}09 \cdot 59 = -5{,}31$
      $-5{,}31 \div (-0{,}02) = 265{,}5$
      Ответ: 265,5.
   2. $\left(238 \div \dfrac{3}{4} + 17\right) \div \left(723 - 15745 \div \dfrac{24}{5}\right)$
      Решение:
      $238 \div \dfrac{3}{4} = 238 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{952}{3} \approx 317{,}33$
      $317{,}33 + 17 = 334{,}33$
      $15745 \div \dfrac{24}{5} = 15745 \cdot \dfrac{5}{24} = \dfrac{78725}{24} \approx 3280{,}21$
      $723 - 3280{,}21 = -2557{,}21$
      $334{,}33 \div (-2557{,}21) \approx -0{,}1307$
      Ответ: $-0{,}1307$.
   
   
   
2. Решите уравнение:
   1. $\dfrac{3}{8}(x - 3) - \dfrac{1}{12}(2x - 5) = 2$
      Решение:
      Умножим обе части на 24:
      $9(x - 3) - 2(2x - 5) = 48$
      $9x - 27 - 4x + 10 = 48$
      $5x - 17 = 48$
      $5x = 65$
      $x = 13$
      Ответ: 13.
   2. $|1 - x| = 2{,}7$
      Решение:
      $1 - x = 2{,}7 \Rightarrow x = -1{,}7$
      $1 - x = -2{,}7 \Rightarrow x = 3{,}7$
      Ответ: $-1{,}7$; $3{,}7$.
   3. $\dfrac{x - 3{,}2}{2x + 1{,}4} = \dfrac{0{,}09}{0{,}27}$
      Решение:
      Упростим правую часть: $\dfrac{1}{3}$
      $3(x - 3{,}2) = 2x + 1{,}4$
      $3x - 9{,}6 = 2x + 1{,}4$
      $x = 11$
      Ответ: 11.
   4. $(2x + 6{,}57)(|3x| + 14)(x^2 - 121) = 0$
      Решение:
      Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
      1) $2x + 6{,}57 = 0 \Rightarrow x = -3{,}285$
      2) $|3x| + 14 = 0$ — решений нет
      3) $x^2 - 121 = 0 \Rightarrow x = \pm11$
      Ответ: $-3{,}285$; $11$; $-11$.
   
   
   
3. Площадь комнаты: $6 \times 8 = 48$ м². Площадь ковров: $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$ м². Пересечение ковров: $(4 + 5) - 8 = 1$ м (ширина перекрытия), площадь перекрытия: $1^2 = 1$ м². Итоговая площадь покрытия: $41 - 1 = 40$ м². Непокрытая площадь: $48 - 40 = 8$ м².
   Ответ: 8 м².
   
   
4. Пусть скорость катера в стоячей воде $v$ км/ч, скорость течения $u$ км/ч. Время движения: 0,75 ч по течению и 1,25 ч против. Уравнение:
   $(v + u) \cdot 0,75 + (v - u) \cdot 1,25 = 43$
   Учитывая отношение скоростей: $v + u = 1,2(v - u) \Rightarrow u = 0,1v$
   Подставляем:
   $(1,1v) \cdot 0,75 + (0,9v) \cdot 1,25 = 43$
   $0,825v + 1,125v = 43 \Rightarrow 1,95v = 43 \Rightarrow v \approx 22,05$ км/ч
   Ответ: 22,05 км/ч.
   
   
5. Пример: $5 \div 2 = 2{,}5$. Проверка: $2{,}525$ (Л=2, О=5, Р=5 — противоречие). Другое решение: $9 \div 4 = 2{,}25$ (Р=9, О=4, Л=2, Е=2 — противоречие). Единственное верное: $7 \div 2 = 3{,}5$ (Р=7, О=2, Л=3, Е=5).
   Ответ: $7 \div 2 = 3{,}5$.
   
   
6. Максимальное количество правдивых реплик — 13. Пример: чередование правдивых и ложных клеток в шахматном порядке с корректировкой условий. Каждая правдивая клетка должна иметь 2 или 4 соседей-правд, что соответствует половине от 4 или 8 возможных соседей.
   Ответ: 13.