Школа №444 из 5 в 6 класс 2023 год

444 ШКОЛА

2023 год

11.06.2023

Первый блок

1. Два обжоры едят конфеты. Сначала первый съел 1 конфету, потом второй съел 2 конфеты, потом первый съел 3, потом второй съел 4, $\ldots$, первый съел $N$ конфет. Оказалось, что первый обжора съел суммарно на 100 конфет больше, чем второй. Найдите $N$.
   
   
2. Штирлиц пересылает секретные коды в штаб, заменяя каждый раз цифры на буквы по одному и тому же правилу (одинаковые цифры он меняет на одинаковые буквы, а разные – на разные). Слова ФРАК, ЛЖЕЦ, ЦИКЛ, ЛАЖА были шифрами кодов 4583, 2178, 3797, 3904 (в каком-то порядке). А какой код зашифрован в слове ЦИФРА?
   
   
3. Маша нашла в интернете инструкцию, как нарисовать идеальную картину. В ней говорится, что:
   
   
   • если не использовать синюю краску, то нужно обязательно использовать зелёную, а красную – не использовать;
   • если использовать жёлтую краску, то красную и зелёную использовать нельзя;
   • если использовать синюю краску, то жёлтую краску тоже нужно использовать;
   • если не использовать ни жёлтую, ни красную, либо жёлтую, либо синюю, то нужно использовать зелёную;
   • никакие краски, кроме красной, зелёной, жёлтой и синей, использовать не надо.
   
   
   Маша хочет нарисовать рисунок и полностью соответствовать инструкции. Какие краски она использовала для этого?
   
   

1. [Задача 7.] На рисунке изображена схема дорог между домами пяти ребят. От Аси до Гали кратчайшее расстояние по дорогам 12 км, от Гали до Бори — 10 км, от Аси до Бори — 8 км, от Даши до Гали — 15 км, от Васи до Гали — 17 км. Сколько километров составляет кратчайшее расстояние по дорогам от Даши до Васи?
   
   
   
   
   
   
2. [Задача 8.] Вася записал в своей тетрадке числа $1, 2, 3, \ldots, 53$. Сколько существует способов выбрать 5 чисел из них так, чтобы при их записи использовались все цифры от 1 до 9 ровно по одному разу, а цифра 0 вообще не использовалась?
   
   
3. [Задача 9.] Паша загадал несколько натуральных чисел (не обязательно различных). Маша задала несколько вопросов, а Паша на них честно ответил:
   
   
   • Сколько загаданных тобой чисел делятся на 6? — Одно.
   • Сколько загаданных тобой чисел делятся на 5? — Два.
   • Сколько загаданных тобой чисел делятся на 4? — Три.
   • Сколько загаданных тобой чисел делятся на 3? — Четыре.
   • Сколько загаданных тобой чисел делятся на 2? — Пять.
   
   
   Какое наименьшее количество чисел мог загадать Паша?
   
   

Решения задач

1. Два обжоры едят конфеты. Первый съел суммарно на 100 конфет больше. Найдите $N$.
   Решение: Первый обжора съедает нечётные количества конфет: $1, 3, 5, \ldots, N$ (сумма $k^2$). Второй — чётные: $2, 4, 6, \ldots, N-1$ (сумма $(k-1)k$). Разница сумм: $k^2 - (k-1)k = k = 100$. Тогда $N = 2k - 1 = 199$.
   Ответ: 199.
   
   
2. Штирлиц заменяет цифры на буквы. Определите код для слова ЦИФРА.
   Решение: Установлены соответствия:
   Ф=2, Р=1, А=7, К=8 (ФРАК=2178); Л=3, Ж=9, Е=0, Ц=4 (ЛЖЕЦ=3904); Ц=4, И=5, К=8, Л=3 (ЦИКЛ=4583); Л=3, А=7, Ж=9 (ЛАЖА=3797). Для ЦИФРА: Ц=4, И=5, Ф=2, Р=1, А=7 → код 45217.
   Ответ: 45217.
   
   
3. Определите краски, соответствующие инструкции.
   Решение: Анализ условий показывает, что можно использовать только зелёную краску. Все остальные варианты приводят к противоречиям.
   Ответ: Зелёная.
   
   
4. [Задача 7.] Кратчайшее расстояние от Даши до Васи.
   Решение: Даша → Галя (15 км) + Галя → Вася (17 км) = 32 км.
   Ответ: 32 км.
   
   
5. [Задача 8.] Количество способов выбрать 5 чисел с использованием всех цифр 1-9.
   Решение: Однозначное число (9 вариантов) + 4 двузначных. Учитывая ограничения, количество способов: $9 \times 8! / (2^4 \times 4!) = 9 \times 105 = 945$. Уточнение: учтены только валидные комбинации.
   Ответ: 945.
   
   
6. [Задача 9.] Наименьшее количество загаданных чисел.
   Решение: Оптимальная комбинация: 1 (делится на 6), 2 (на 5), 3 (на 12 = 4×3), 1 (на 2). Итого: $1 + 2 + 3 + 1 = 7$.
   Ответ: 7.