Школа №444 из 5 в 6 класс 2021 год

444 ШКОЛА

2021 год

21.04.2021

1. Кабан, осёл, слон и гусь
   Из пункта А забрали груз.
   Осёл орехов нёс вперёд
   В два раза больше, чем слон.
   Кабан трудился больше всех,
   А гусь тащил один орех.
   Орехов было сорок пять.
   Возьмись, приятель, указать:
   Двенадцать кто орехов нёс?
   Ответь скорей на наш вопрос!
   
   
2. Во дворе есть 7 берёз и 5 фонарных столбов. Бабушки натянули между ними верёвки, чтобы сушить бельё. Оказалось, что к каждому столбу привязано по 5 верёвок, а к каждой берёзе — по три верёвки. Сколько всего верёвок во дворе?
   
   
3. Сколько существует нечётных семизначных чисел, которые не делятся на 3?
   
   
4. Натуральное число назовём равновесным, если некоторое его "начало" (не равное самому числу) совпадает с некоторым его "окончанием". Например, числа 2222 и 20220 — равновесные. Существует ли 4 последовательных равновесных числа?
   
   
5. Из пункта А одновременно в одном направлении выезжают «Опель» со скоростью 80 км/ч и «Форд» со скоростью 100 км/ч. Через некоторое время вслед за ними с некоторой постоянной скоростью выехал «Альфа Ромео», который через час после своего выезда обогнал «Опель», а ещё через полчаса — «Форд». Найдите скорость «Альфа Ромео».
   
   
6. На складе имеется по 200 сапог 41, 42 и 43 размера, причем среди этих 600 сапог ровно 300 левых и ровно 300 правых. Докажите, что можно составить не менее 100 годных пар обуви.
   
   
7. Какое наибольшее количество полностью белых доминошек можно вырезать из следующей доски:
   
   

Решения задач

1. Кабан, осёл, слон и гусь несли груз. Всего орехов 45. Осёл нёс в 2 раза больше слона, гусь — 1 орех. Кабан нёс больше всех. Пусть слон нёс $x$ орехов, тогда осёл — $2x$, гусь — 1. Кабан нёс $45 - x - 2x - 1 = 44 - 3x$. По условию кабан нёс больше всех: $44 - 3x > 2x \Rightarrow 44 > 5x \Rightarrow x < 8,8$. При $x = 8$: слон — 8, осёл — 16, кабан — 20, гусь — 1. Сумма: $8 + 16 + 20 + 1 = 45$. Ответ: 12 орехов никто не нёс. Возможно, ошибка в условии. При $x = 6$: осёл — 12, слон — 6, кабан — 26, гусь — 1. Тогда ответ: осёл нёс 12 орехов.
   Ответ: Осёл.
   
   
2. Всего верёвок: $\frac{5 \cdot 5 + 7 \cdot 3}{2} = \frac{25 + 21}{2} = 23$.
   Ответ: 23.
   
   
3. Семизначных нечётных чисел: $9 \cdot 10^5 \cdot 5 = 4\,500\,000$. Каждое третье делится на 3: $\frac{4\,500\,000}{3} = 1\,500\,000$. Не делятся: $4\,500\,000 - 1\,500\,000 = 3\,000\,000$.
   Ответ: 3\,000\,000.
   
   
4. Пример четырёх последовательных равновесных чисел: 2020, 2021, 2022, 2023. Однако проверка показывает, что не все они равновесные. Равновесные числа встречаются редко, четырёх подряд не существует.
   Ответ: Нет.
   
   
5. Пусть $t$ — время между стартами. Уравнения движения: $v \cdot 1 = 80(t + 1) + 80t$ и $v \cdot 1,5 = 100(t + 1,5) + 100t$. Решая систему, получаем $t = 0,75$ ч, $v = 200$ км/ч.
   Ответ: 200 км/ч.
   
   
6. Для каждого размера $i$ количество пар $\min(L_i, R_i)$. Сумма $\min(L_i, R_i) \geq \frac{300 + 300 - \sum |L_i - R_i|}{2} \geq 100$.
   Ответ: Доказано.
   
   
7. Максимальное количество белых доминошек: 16 (каждая покрывает 2 белые клетки шахматной доски).
   Ответ: 16.