Школа №444 из 3 в 4 класс 2023 демоверсия

1. В коробке лежат синие, красные и зелёные карандаши. Всего 20 штук. Синих в 6 раз больше, чем зелёных, красных меньше, чем синих. Сколько в коробке красных карандашей?
2. В Цветочном Городе в некотором порядке стоят дома Анечки, Барбариски, Валечки, Гошеньки и Димочки. Известно, что никакие две девочки не живут рядом, при этом Анечка не живёт рядом с Гошенькой, а Димочка не живёт рядом с Валечкой. Кто из детей может жить в среднем доме?
3. Гена показывает Чебурашке фокусы. Чебурашка загадал число, поделил его на 4, умножил на 3, прибавил 2, вычел 12, разделил на 2 и получил 4. Гена тут же сказал, какое число загадал Чебурашка. Какое?

1. Листы в книге пронумерованы следующим образом: первый лист — это две страницы (с номерами 1 и 2) и так далее. Хулиган Петя вырвал из книги несколько подряд идущих листов: первая вырванная страница имеет номер 185, а номер последней вырванной страницы состоит из тех же цифр, но в другом порядке. Сколько листов вырвал Петя?
2. Лунтику подарили кубик из сыра. И каждое утро в течение недели на завтрак он съедал немного сыра от этого кубика, причем каждый раз одинаковое количество. По истечении недели выяснилось, что у Лунтика вновь остался кубик сыра, но высота, ширина и длина кубика уменьшились в 2 раза. На сколько дней Лунтику хватит оставшегося сыра, если он будет съедать то же количество по утрам?
3. Семь гномов составляют график дежурств на неделю около Спящей красавицы. Сколькими способами они могут это сделать?

1. Паук плетёт паутину между цветками. Каждая нить соединяет два цветка. От 7 цветков тянется по 5 паутинок, от 3 — по 3, а ещё от 5 — по 4 паутинки. Сколько ниточек-паутинок сплёл паук?
2. У Буки 2 ноги и 2 руки, а у Бяки 2 ноги и 4 руки. На прогулку отправились несколько Бук и Бяк, всего видно 20 ног и 26 рук. Сколько Бук отправилось на прогулку?
3. Доктор Айболит проснулся между 7 и 8 часами утра и заметил, что часовая стрелка его будильника делит пополам угол между минутной стрелкой и стрелкой звонка, указывающей на цифру 8. Через какое время должен прозвенеть будильник?
4. Разрежьте каждую из фигур, представленных ниже, на 4 равные части. Резать можно по границам и диагоналям клеток.
   
   
   
5. В некоторой школе преподаватели всегда шутят и, соответственно, говорят неправду, а школьники всегда честные. В школьном совете — всего 2023 преподавателя и школьников. Каждый из них сегодня заявил, что без него в совете преподавателей будет больше, чем школьников. Сколько преподавателей и сколько школьников в школьном совете?

Решения задач

1. В коробке лежат синие, красные и зелёные карандаши. Всего 20 штук. Синих в 6 раз больше, чем зелёных, красных меньше, чем синих. Сколько в коробке красных карандашей?
   Решение: Пусть зелёных карандашей $x$. Тогда синих $6x$. Всего зелёных и синих $x + 6x = 7x$. Красных карандашей $20 - 7x$. По условию $20 - 7x < 6x \Rightarrow 20 \frac{20}{13} \approx 1.54$. Минимальное целое $x=2$.
   Тогда зелёных $2$, синих $12$, красных $20 - 14 = 6$.
   Проверка: $6 < 12$ — условие выполнено.
   Ответ: 6.
2. В Цветочном Городе в некотором порядке стоят дома Анечки, Барбариски, Валечки, Гошеньки и Димочки. Известно, что никакие две девочки не живут рядом, при этом Анечка не живёт рядом с Гошенькой, а Димочка не живёт рядом с Валечкой. Кто из детей может жить в среднем доме?
   Решение: Девочки — Анечка, Валечка, Гошенька; мальчики — Барбариска, Димочка. Чтобы девочки не были рядом, расстановка: М-Д-М-Д-М. Середдинный дом №3 может быть занят только мальчиком (иначе девочка рядом). Проверим возможные конфликты:
   - Если в третьем доме Барбариска, то Димочка в №5. Проверка соседства с Валечкой: Валечка не в №4 и №2. Возможна расстановка Б-В-Б-Г-Д.
   - Если в третьем доме Димочка, то Анечка не рядом с Гошенькой. Возможно: Б-А-Д-Г-В. Девочки не рядом, Димочка не рядом с Валечкой.
   Средний дом может занимать Барбариска или Димочка.
   Ответ: Барбариска или Димочка.
3. Гена показывает Чебурашке фокусы. Чебурашка загадал число, поделил его на 4, умножил на 3, прибавил 2, вычел 12, разделил на 2 и получил 4. Гена тут же сказал, какое число загадал Чебурашка. Какое?
   Решение: Обратные операции:
   $4 \cdot 2 + 12 - 2 = 8$, $8 \cdot \frac{4}{3} = \frac{32}{3}$? Нет. Важно последовательно раскрутить:
   Пусть задуманное число $x$. Тогда: \[ \frac{\frac{\frac{x}{4} \cdot 3 + 2 - 12}{2}} = 4 \Rightarrow \frac{\frac{3x}{4} - 10}{2} = 4 \Rightarrow \frac{3x}{4} - 10 = 8 \Rightarrow \frac{3x}{4} = 18 \Rightarrow x = 24. \] Ответ: 24.
4. Листы в книге пронумерованы следующим образом: первый лист — это две страницы (с номерами 1 и 2) и так далее. Хулиган Петя вырвал из книги несколько подряд идущих листов: первая вырванная страница имеет номер 185, а номер последней вырванной страницы состоит из тех же цифр, но в другом порядке. Сколько листов вырвал Петя?
   Решение: Первый вырванный лист содержит страницы 185 и 186 (лист 93). Последняя страница — 518 (перестановка цифр). Определим лист последней страницы: $\frac{518}{2} = 259$-й лист.
   Количество листов: $259 - 93 + 1 = 167$.
   Ответ: 167.
5. Лунтику подарили кубик из сыра. И каждое утро в течение недели на завтрак он съедал немного сыра от этого кубика, причем каждый раз одинаковое количество. По истечении недели выяснилось, что у Лунтика вновь остался кубик сыра, но высота, ширина и длина кубика уменьшились в 2 раза. На сколько дней Лунтику хватит оставшегося сыра, если он будет съедать то же количество по утрам?
   Решение: Изначальный объём $V = a^3$. После недели осталось $(\frac{a}{2})^3 = \frac{a^3}{8}$. Съедено $\frac{7a^3}{8}$. Ежедневная норма $\frac{a^3}{8}$. Остаток $\frac{a^3}{8}$ хватит на 1 день.
   Ответ: 1.
6. Семь гномов составляют график дежурств на неделю около Спящей красавицы. Сколькими способами они могут это сделать?
   Решение: Каждый день дежурит один из 7 гномов без повторений. Количество перестановок: $7! = 5040$.
   Ответ: 5040.
7. Паук плетёт паутину между цветками. Каждая нить соединяет два цветка. От 7 цветков тянется по 5 паутинок, от 3 — по 3, а ещё от 5 — по 4 паутинки. Сколько ниточек-паутинок сплёл паук?
   Решение: Сумма степеней вершин: $7 \cdot 5 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 4 = 64$. Количество нятомоок: $\frac{64}{2} = 32$.
   Ответ: 32.
8. У Буки 2 ноги и 2 руки, а у Бяки 2 ноги и 4 руки. На прогулку отправились несколько Бук и Бяк, всего видно 20 ног и 26 рук. Сколько Бук отправилось на прогулку?
   Решение: Пусть Буков — $B$, Бяк — $b$. Уравнения:
   Ноги: $2B + 2b = 20 \Rightarrow B + b = 10$.
   Руки: $2B + 4b = 26 \Rightarrow B + 2b = 13$.
   Решение: $b=3$, $B=7$.
   Ответ: 7.
9. Доктор Айболит проснулся между 7 и 8 часами утра и заметил, что часовая стрелка его будильника делит пополам угол между минутной стрелкой и стрелкой звонка, указывающей на цифру 8. Через какое время должен прозвенеть будильник?
   Решение: Положение часовой стрелки: $210 + 0.5t$, минутной: $6t$, стрелки на 8: $240^\circ$. Уравнение углов:
   $|210 + 0.5t - 6t| = |240 - (210 + 0.5t)| \Rightarrow t=36$ минут.
   До звонка в 8:00 осталось $60 - 36 = 24$ минуты.
   Ответ: 24 минуты.
10. Разрежьте каждую из фигур на 4 равные части. Резать можно по границам и диагоналям клеток.
    Решение: Графическое решение опущено (стандартное деление фигур на симметричные части по клеткам).
    Ответ: Каждая фигура разрезается на 4 одинаковых части.
11. В некоторой школе преподаватели всегда шутят и, соответственно, говорят неправду, а школьники всегда честные. В школьном совете — всего 2023 преподавателя и школьников. Каждый из них сегодня заявил, что без него в совете преподавателей будет больше, чем школьников. Сколько преподавателей и сколько школьников в школьном совете?
    Решение: Пусть преподавателей $P$, школьников $S$, $P + S = 2023$.
    Для школьников: $P > S - 1 \Rightarrow P \ge S$.
    Для преподавателей: $P - 1 \le S$.
    Решение: $P = S + 1$, $2S + 1 = 2023 \Rightarrow S = 1011$, $P = 1012$.
    Ответ: 1012 преподавателей и 1011 школьников.