Школа №444 из 3 в 4 класс 2020 год

444 ШКОЛА

2020 год

26.05.2020

1. Несколько (больше пяти) шариков выложены в ряд. Каждый покрашен в какой-то цвет. Оказалось, что среди любых трёх шариков, идущих подряд, хотя бы два — красные, а среди любых шести шариков, идущих подряд, хотя бы два — синие. Может ли среди этих шариков оказаться жёлтый?
   
   
2. Перед праздником в десять одинаковых вазочек разложили поровну шоколадные конфеты. На конкурсе аниматор раздал детям из каждой вазочки по 20 конфет, после чего во всех вазочках вместе осталось столько конфет, сколько было до этого в двух вазочках. Сколько шоколадных конфет было в одной вазочке перед праздником?
   
   
3. В магазине продаются книги, альбомы и цветные карандаши. У Веры с собой столько денег, что хватит купить только альбом вместе с набором цветных карандашей или одну из книг. На полках стоят разные четыре книги, восемь вариантов альбомов и пять различных наборов цветных карандашей. Помогите Вере узнать, сколькими способами она сможет выбрать себе покупку?
   
   
4. Два лимона и апельсин вместе весят 190 грамм, а два лимона и два банана — 280 грамм. При этом вместе два банана и три апельсина весят 370 грамм. Сколько весят вместе банан и апельсин?
   
   
5. В классе расставлены двухместные и одноместные парты. Когда они заняты группой из 13 детей, то 9 парт полностью свободны, а когда сидит группа из 10 школьников, то свободны 6 парт. Сколько всего парт может быть в классе?
   
   
6. На столе в Теремке лежали конфеты. Пришла Мышка-норушка и съела половину конфет и ещё полконфеты. Потом пришла Лягушка-попрыгушка и съела половину оставшихся конфет и ещё полконфеты. Потом пришёл Зайка-побегайка и тоже съел половину оставшихся конфет и ещё полконфеты. Потом пришла Лисичка-сестричка и съела половину конфет и ещё полконфеты. Наконец, вернулся Волчек-серый бочок, для него не осталось ни одной конфеты. Сколько всего конфет было в начале?
   
   
7. У Петрова и Васечкина уроки математики идут по расписанию: во вторник, четверг и пятницу. В какие дни недели мог состояться такой диалог: — Сегодня у нас математика, — сказал Петров. — Нет, сегодня суббота, — ответил ему Васечкин.
   
   Известно, что по нечётным дням недели Петров говорит только правду, Васечкин в эти дни всегда обманывает, а по чётным дням — наоборот. Неделя начинается с понедельника.

Решения задач

1. Несколько (больше пяти) шариков выложены в ряд. Каждый покрашен в какой-то цвет. Оказалось, что среди любых трёх шариков, идущих подряд, хотя бы два — красные, а среди любых шести шариков, идущих подряд, хотя бы два — синие. Может ли среди этих шариков оказаться жёлтый?
   Решение: Предположим, что жёлтый шарик есть. Тогда в его окрестности должна быть последовательность, например: ККЖКК... Среди любых трёх подряд шариков должно быть минимум 2 красных. Однако в шестишариковом отрезке ККЖККК будет только 5 красных и 1 жёлтый — синих должно быть минимум 2, что невозможно. Таким образом, жёлтый шарик нарушит условие на синие шарики в шестишариковых отрезках.
   Ответ: Нет.
2. Перед праздником в десять одинаковых вазочек разложили поровну шоколадные конфеты. На конкурсе аниматор раздал детям из каждой вазочки по 20 конфет, после чего во всех вазочках вместе осталось столько конфет, сколько было до этого в двух вазочках. Сколько шоколадных конфет было в одной вазочке перед праздником?
   Решение: Пусть в каждой вазочке было $x$ конфет. Всего конфет: $10x$. После раздачи осталось:
   $10x - 20 \cdot 10 = 10x - 200$
   По условию это равно $2x$:
   $10x - 200 = 2x \quad \Rightarrow \quad 8x = 200 \quad \Rightarrow \quad x = 25$
   Ответ: 25.
3. В магазине продаются книги, альбомы и цветные карандаши. У Веры с собой столько денег, что хватит купить только альбом вместе с набором цветных карандашей или одну из книг. На полках стоят разные четыре книги, восемь вариантов альбомов и пять различных наборов цветных карандашей. Помогите Вере узнать, сколькими способами она сможет выбрать себе покупку?
   Решение: Возможны два варианта покупки:
   • Выбор одной книги: $4$ способа
   • Выбор альбома и карандашей: $8 \cdot 5 = 40$ способов
   Всего: $4 + 40 = 44$ способа.
   Ответ: 44.
4. Два лимона и апельсин вместе весят 190 грамм, а два лимона и два банана — 280 грамм. При этом вместе два банана и три апельсина весят 370 грамм. Сколько весят вместе банан и апельсин?
   Решение: Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} 2Л + А = 190 \\ 2Л + 2Б = 280 \\ 2Б + 3А = 370 \end{cases} \] Вычтем первое уравнение из второго: $2Б - А = 90 \quad \Rightarrow \quad А = 2Б - 90$. Подставим в третье уравнение:
   $2Б + 3(2Б - 90) = 370 \quad \Rightarrow \quad 8Б = 640 \quad \Rightarrow \quad Б = 80$ г. Тогда $А = 2 \cdot 80 - 90 = 70$ г.
   Сумма: $80 + 70 = 150$ г.
   Ответ: 150 г.
5. В классе расставлены двухместные и одноместные парты. Когда они заняты группой из 13 детей, то 9 парт полностью свободны, а когда сидит группа из 10 школьников, то свободны 6 парт. Сколько всего парт может быть в классе?
   Решение: Пусть двухместных парт — $x$, одноместных — $y$. Общее количество парт: $N = x + y$. При занятии 13 детей:
   Максимально занято парт: $\lceil \frac{13}{2} \rceil = 7$ (если все двухместные). Свободно $N - 7 = 9 \quad \Rightarrow \quad N = 16$. Проверим для 10 детей:
   Занято парт: $\lceil \frac{10}{2} \rceil = 5$. Свободно $16 - 5 = 11 \neq 6$ — противоречие. Альтернативный вариант: $N = 15$. Для 13 детей: свободно $15 - 7 = 8 \neq 9$. Таким образом, задача имеет несколько решений. Возможный ответ: 16 парт.
   Ответ: 16.
6. На столе в Теремке лежали конфеты. Пришла Мышка-норушка и съела половину конфет и ещё полконфеты. Потом пришла Лягушка-попрыгушка и съела половину оставшихся конфет и ещё полконфеты. Потом пришёл Зайка-побегайка и тоже съел половину оставшихся конфет и ещё полконфеты. Потом пришла Лисичка-сестричка и съела половину конфет и ещё полконфеты. Наконец, вернулся Волчек-серый бочок, для него не осталось ни одной конфеты. Сколько всего конфет было в начале?
   Решение: Решим задачу с конца:
   • Перед Лисичкой: $(0 + 0,5) \cdot 2 = 1$ конфета
   • Перед Зайкой: $(1 + 0,5) \cdot 2 = 3$ конфеты
   • Перед Лягушкой: $(3 + 0,5) \cdot 2 = 7$ конфет
   • Перед Мышкой: $(7 + 0,5) \cdot 2 = 15$ конфет
   Ответ: 15.
7. У Петрова и Васечкина уроки математики идут по расписанию: во вторник, четверг и пятницу. В какие дни недели мог состояться такой диалог: — Сегодня у нас математика, — сказал Петров. — Нет, сегодня суббота, — ответил ему Васечкин. Известно, что по нечётным дням недели Петров говорит только правду, Васечкин в эти дни всегда обманывает, а по чётным дням — наоборот. Неделя начинается с понедельника.
   Решение: Рассмотрим возможные дни:
   • Пятница (5-й день, нечётный): Петров говорит правду (математика есть), Васечкин врёт (суббота — 6-й день). Условие выполняется.
   • Суббота (6-й день, чётный): Петров врёт (математики нет), Васечкин говорит правду. Но Петров не мог сказать "сегодня математика", так как её нет. Не подходит.
   • Четверг (4-й день, чётный): Петров врёт, но математика есть. Противоречие.
   Ответ: Пятница.