Гимназия №1543 из 7 в 8 класс вариант 2
Печать
youit.school ©
Примеры из курса подготовки к гимназии 1543 (8 класс)
Пример 1. Иннокентий записал в ряд по возрастанию все 16 натуральных делителей некоторого числа $N$. Чему оказалось равно произведение пятого и двенадцатого члена в этом ряду?
Пример 2. Первый поезд длины 450м движется со скоростью 40км/ч, навстречу ему со скоростью 60км/ч движется второй поезд длины 550м. Какое время потребуется, чтобы концы поездов разминулись?
Пример 3. Имеется 5 мешков с монетами: в каждом по 100 штук, но в первом мешке 1 фальшивая монета (весит на 1г больше), во втором — 2 фальшивые, …, в пятом — 5 фальшивых. Как одним взвешиванием на электронных весах определить, в каком мешке фальшивые монеты?
Пример 1. Иннокентий записал в ряд по возрастанию все 16 натуральных делителей некоторого числа $N$. Чему оказалось равно произведение пятого и двенадцатого члена в этом ряду?
Пример 2. Первый поезд длины 450м движется со скоростью 40км/ч, навстречу ему со скоростью 60км/ч движется второй поезд длины 550м. Какое время потребуется, чтобы концы поездов разминулись?
Пример 3. Имеется 5 мешков с монетами: в каждом по 100 штук, но в первом мешке 1 фальшивая монета (весит на 1г больше), во втором — 2 фальшивые, …, в пятом — 5 фальшивых. Как одним взвешиванием на электронных весах определить, в каком мешке фальшивые монеты?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Примеры из курса подготовки к гимназии 1543 (8 класс)
Пример 1. Иннокентий записал в ряд по возрастанию все 16 натуральных делителей некоторого числа $N$. Чему оказалось равно произведение пятого и двенадцатого члена в этом ряду?
Решение. Пусть делители будут $D_1=1,D_2,\dots,D_{16}=N$. В общем случае $D_k\cdot D_{17-k}=N$. Тогда $$D_5\cdot D_{12}=N.$$
Ответ: $N$.
Пример 2. Первый поезд длины $450\,м$ движется со скоростью $40\,км/ч$, навстречу ему со скоростью $60\,км/ч$ движется второй поезд длины $550\,м$. Какое время потребуется, чтобы концы поездов разминулись?
Решение. Относительная скорость сближения $40+60=100$\,км/ч = $100\,/3600=1/36$\,км/с = $1000/36\approx27.78$ м/с. Сумма длин составов $450+550=1000$ м. Время $$t=\frac{1000}{1000/36}=36\text{ с}.$$ Ответ: 36 секунд.
Пример 3. Имеется 5 мешков с монетами: в каждом по 100 штук, но в первом мешке 1 фальшивая монета (весит на $1\,г$ больше), во втором — 2 фальшивые, …, в пятом — 5 фальшивых. Как одним взвешиванием на электронных весах определить, в каком мешке фальшивые монеты?
Решение. Возьмём из $k$-го мешка ровно $k$ монет (итого $1+2+3+4+5=15$). Если все монеты настоящие (по 10 г), вес составил бы 150 г. Но каждая фальшивая прибавляет +1 г. Измеренный вес $150+K$ г укажет, что фальшивых — $K$, значит мешок номер $K$.
Ответ: по превышению веса над 150 г определяем номер мешка.
Пример 1. Иннокентий записал в ряд по возрастанию все 16 натуральных делителей некоторого числа $N$. Чему оказалось равно произведение пятого и двенадцатого члена в этом ряду?
Решение. Пусть делители будут $D_1=1,D_2,\dots,D_{16}=N$. В общем случае $D_k\cdot D_{17-k}=N$. Тогда $$D_5\cdot D_{12}=N.$$
Ответ: $N$.
Пример 2. Первый поезд длины $450\,м$ движется со скоростью $40\,км/ч$, навстречу ему со скоростью $60\,км/ч$ движется второй поезд длины $550\,м$. Какое время потребуется, чтобы концы поездов разминулись?
Решение. Относительная скорость сближения $40+60=100$\,км/ч = $100\,/3600=1/36$\,км/с = $1000/36\approx27.78$ м/с. Сумма длин составов $450+550=1000$ м. Время $$t=\frac{1000}{1000/36}=36\text{ с}.$$ Ответ: 36 секунд.
Пример 3. Имеется 5 мешков с монетами: в каждом по 100 штук, но в первом мешке 1 фальшивая монета (весит на $1\,г$ больше), во втором — 2 фальшивые, …, в пятом — 5 фальшивых. Как одним взвешиванием на электронных весах определить, в каком мешке фальшивые монеты?
Решение. Возьмём из $k$-го мешка ровно $k$ монет (итого $1+2+3+4+5=15$). Если все монеты настоящие (по 10 г), вес составил бы 150 г. Но каждая фальшивая прибавляет +1 г. Измеренный вес $150+K$ г укажет, что фальшивых — $K$, значит мешок номер $K$.
Ответ: по превышению веса над 150 г определяем номер мешка.
Материалы школы Юайти