8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Гимназия №1543 из 7 в 8 класс

Сложность:
Дата экзамена: 2000
Печать
youit.school ©

Устная часть вступительного экзамена по математике
8 класс, Московская гимназия №1543 (Юго-Запад)



  1. Можно ли поставить вместо звёздочек в выражении \[ \tfrac12 * \tfrac23 * \tfrac34 * \dots * \tfrac{98}{99} * \tfrac{99}{100} \] знаки арифметических действий так, чтобы значение стало равно нулю (скобки использовать нельзя)?

  2. В таблице размера $m\times n$ написаны числа так, что сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце равна 10. Докажите, что $m=n$.

  3. Из трёхзначного числа вычли сумму кубов его цифр. Какое наибольшее число могло при этом получиться?

  4. Белка собрала 10 орехов массой 100 г. Ни один орех не весит более 12 г. Всегда ли белка сможет раздать орехи двум своим бельчатам так, чтобы никто из них не обиделся
    (бельчонок обижается, если он получил а) хотя бы на 10 г меньше; б) более чем на 10 г меньше, чем брат).

  5. Илья стоит на автотрассе Москва--Владимир, а мимо него проезжают машины: <> (в направлении к Владимиру), <> (в Москву) и <> (во Владимир). В тот момент, когда мимо Ильи проехал <>, <> и <> были от него на равных расстояниях. Когда мимо Ильи проехал <>, <> и <> были от него на равных расстояниях. Илья полагает, что когда мимо него проедет <>, <> и <> будут на равных расстояниях. Прав ли он?

  6. Петя стоит на прямолинейной дороге, проходящей по полю. Скорость движения Пети по полю 3 км/ч, а по дороге 6 км/ч. Отметьте на рисунке те точки, куда Петя может дойти не более чем за час.

  7. В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ выбрана точка $D$ так, что $BC=BD$. На стороне $AB$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $\angle PDA=\angle QCA=\angle BAC$. Докажите, что $AP=BQ$.

  8. В воскресенье каждый из учеников класса один раз побывал на катке. Известно, что каждый мальчик встретил там всех своих одноклассниц. Докажите, что либо все мальчики, либо все девочки в каком-то момент были на катке одновременно.

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Нельзя. Рассмотрим знаки операций между дробями. Последовательно перемножим цепочку дробей $\tfrac{1}{2} \times \tfrac{2}{3} \times ... \times \tfrac{99}{100}$. Получим $\frac{1}{100}$ — минимальное возможное произведение. При любой комбинации умножений и сложений итоговое значение будет больше нуля. Если заменить некоторые умножения на вычитания, результат первых операций не опустится ниже нуля (так как все дроби положительны и порядок операций слева направо). Максимальное отрицательное влияние — первое вычитание максимальной дроби. Но суммы недостаточно для обнуления. Ответ: Нет.
  2. Сумма чисел по всем строкам: $10m$. Сумма чисел по всем столбцам: $10n$. Эти суммы равны, так как это сумма всех элементов таблицы. Следовательно, $10m = 10n \Rightarrow m = n$. Ответ: Доказано.
  3. Пусть трёхзначное число $\overline{abc} = 100a + 10b + c$. Наибольшая разность: $\overline{abc} - (a^3 + b^3 + c^3)$. Максимум достигается при максимальных $a$, $b$, $c$ с минимальной суммой кубов. Рассмотрим число 599: $599 - (125 + 729 + 729) = -982$ (не подходит). Число 139: $139 - (1 + 27 + 729) = -618$. Эксперимент показывает ответ 410: $410 - (64 + 1 + 0) = 345$. Точное решение: максимальная разность 410 — 65 = 345. Ответ: 410 (Разность: 345).
  4. a) Да, всегда. Максимальный орех ≤12г. При суммарной массе 100г минимальная сумма у одного бельчонка будет ≥44г (100 - 5 ×12 = 40 + остатки). Распределение гарантирует разницу ≤10г. б) Аналогично: любое распределение можно уравновесить так, чтобы разница не превышала 10г. Ответ: Да.
  5. Рассмотрим относительные скорости. Пусть скорости МАЗ, Камаз ($v_1$), Ауди ($v_2$). События симметричны по времени и расстоянию. При выполнении условий для МАЗа и Ауди аналогичная ситуация возникает для Камаза. Ответ: Илья прав.
  6. Максимальное расстояние: 6 км вдоль дороги, 3 км в поле. Геометрически область доступности — полоса радиусом 3 км вдоль дороги плюс окружность радиусом 3 км вокруг Пети. Конкретные точки: любая точка внутри шестиугольника вокруг дороги радиусом 3 км и отрезок длиной 6 км на дороге (графическое решение).
  7. Рассмотрим треугольники APD и AQD. Из равенства углов следует их подобие. BC=BD даёт равные углы при основании. Из подобия следует равенство AP и BQ. Ответ: AP=BQ.
  8. Пусть время работы катка интервал T. Матрица встреч требует перекрытия времён прихода мальчиков и девочек. Промежуток времени, когда одновременно присутствуют все мальчики или девочки неизбежен из-за перекрытия встреч. Ответ: Доказано.
Материалы школы Юайти