Гимназия №1543 из 4 в 5 класс вариант 1
Печать
youit.school ©
Примеры из курса подготовки к гимназии 1543 (5 класс)
Пример 1. В классе 30 человек. Известно:
Пример 2. В 5А классе в шахматы умеют играть половина мальчиков и треть девочек. При этом четверть всех шахматистов — девочки. Сколько детей в 5А классе, если в шахматы умеют играть 12 человек?
Пример 3. Петя раскрасил грани куба в красный и синий цвета. Докажите, что у этого куба обязательно найдётся такое ребро, которое смыкает грани одного цвета.
Пример 1. В классе 30 человек. Известно:
- Каждый, кто принёс циркуль, принёс и линейку.
- Забыли циркуль 18 человек.
- Забыли линейку 8 человек.
Пример 2. В 5А классе в шахматы умеют играть половина мальчиков и треть девочек. При этом четверть всех шахматистов — девочки. Сколько детей в 5А классе, если в шахматы умеют играть 12 человек?
Пример 3. Петя раскрасил грани куба в красный и синий цвета. Докажите, что у этого куба обязательно найдётся такое ребро, которое смыкает грани одного цвета.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Примеры из курса подготовки к гимназии 1543 (5 класс)
Пример 1. В классе 30 человек. Известно:
Решение. Забыли циркуль 18 человек, значит принесли циркуль $30-18=12$ человек. Забыли линейку 8 человек, значит принесли линейку $30-8=22$ человека. По условию все, кто принёс циркуль, принесли и линейку, значит эти 12 входят в 22. Теперь не забыли циркуль тоже 12 человек (они его принесли). Следовательно:
Ответ: линейку принесли большему числу учеников.
Пример 2. В 5А классе в шахматы умеют играть половина мальчиков и треть девочек. При этом четверть всех шахматистов — девочки. Сколько детей в 5А классе, если в шахматы умеют играть 12 человек?
Решение. Пусть в классе $M$ мальчиков и $N$ девочек. Умение играть имеют $\tfrac12M$ мальчиков и $\tfrac13N$ девочек, всего $\tfrac12M+\tfrac13N=12$. По условию четверть всех шахматистов — девочки, значит $\tfrac13N=\tfrac14\cdot12=3$, откуда $N=9$. Тогда $\tfrac12M+3=12\implies\tfrac12M=9\implies M=18$. Всего в 5А классе $18+9=27$ человек.
Ответ: 27.
Пример 3. Петя раскрасил грани куба в красный и синий цвета. Докажите, что у этого куба обязательно найдётся такое ребро, которое смыкает грани одного цвета.
Решение. Возьмём произвольную вершину; в ней сходятся три грани. По принципу Дирихле среди трёх граней при двух цветах (красный/синий) найдутся по крайней мере две одной краски. Эти две грани имеют общее ребро, и оно соединяет грани одного цвета.
Ответ: любое расположение красок на гранях содержит смежные грани одного цвета.
Пример 1. В классе 30 человек. Известно:
- Каждый, кто принёс циркуль, принёс и линейку.
- Забыли циркуль 18 человек.
- Забыли линейку 8 человек.
Решение. Забыли циркуль 18 человек, значит принесли циркуль $30-18=12$ человек. Забыли линейку 8 человек, значит принесли линейку $30-8=22$ человека. По условию все, кто принёс циркуль, принесли и линейку, значит эти 12 входят в 22. Теперь не забыли циркуль тоже 12 человек (они его принесли). Следовательно:
- принесли циркуль: 12,
- принесли линейку: 22,
- не забыли циркуль: 12.
Ответ: линейку принесли большему числу учеников.
Пример 2. В 5А классе в шахматы умеют играть половина мальчиков и треть девочек. При этом четверть всех шахматистов — девочки. Сколько детей в 5А классе, если в шахматы умеют играть 12 человек?
Решение. Пусть в классе $M$ мальчиков и $N$ девочек. Умение играть имеют $\tfrac12M$ мальчиков и $\tfrac13N$ девочек, всего $\tfrac12M+\tfrac13N=12$. По условию четверть всех шахматистов — девочки, значит $\tfrac13N=\tfrac14\cdot12=3$, откуда $N=9$. Тогда $\tfrac12M+3=12\implies\tfrac12M=9\implies M=18$. Всего в 5А классе $18+9=27$ человек.
Ответ: 27.
Пример 3. Петя раскрасил грани куба в красный и синий цвета. Докажите, что у этого куба обязательно найдётся такое ребро, которое смыкает грани одного цвета.
Решение. Возьмём произвольную вершину; в ней сходятся три грани. По принципу Дирихле среди трёх граней при двух цветах (красный/синий) найдутся по крайней мере две одной краски. Эти две грани имеют общее ребро, и оно соединяет грани одного цвета.
Ответ: любое расположение красок на гранях содержит смежные грани одного цвета.
Материалы школы Юайти