Гимназия №1543 из 4 в 5 класс 2023 вариант 2

1. Вычислите: \[ 469 \cdot 408 : 476 - 208 = \underline{\phantom{xxxx}} \]
   
   
2. Решите задачу с пояснениями:
   На расстоянии 180 метров друг от друга растут яблоня и груша. Яша и Гриша одновременно побежали навстречу друг другу: Яша от яблони до груши, а Гриша от груши до яблони. Они встретились через 18 секунд после старта, а ещё через 12 секунд Гриша добежал до яблони. Сколько секунд Яша бежал от места встречи до груши?
   
   
   
3. Решите задачу с пояснениями:
   На полу квадратной комнаты лежит прямоугольный ковёр. Расстояния от стен до ковра — 50 см, 80 см, 90 см и 1 м. Периметр ковра 10 м. Найдите сторону комнаты.
   
   
   Напишите только ответы:
4. Перемножили два числа. Первый множитель в 15 раз меньше произведения, а второй множитель в 3 раза меньше первого. Чему равно произведение?
5. В корзине лежат белые грибы, подберёзовики и подосиновики, всего 53 гриба. Подосиновиков в 6 раз меньше, чем подберёзовиков. Подберёзовиков больше, чем белых. Сколько белых грибов может быть в корзине? Найдите все возможные ответы и запишите их через запятую.
6. Ваня написал на доске трёхзначное число и потом дописал в конце цифру 8. Если теперь у получившегося четырёхзначного числа стереть первую цифру, останется ровно половина исходного трёхзначного числа. Какое число написал Ваня сначала?
7. Штрих-код состоит из чередующихся чёрных и белых полосок. Крайние полоски — чёрные. Чёрные полоски бывают узкие и широкие. Белых полосок на 11 больше, чем широких чёрных, и на 6 больше, чем узких чёрных. Сколько чёрных и сколько белых полосок на штрих-коде?
8. Надо коробку размером $5\times13\times3$ заполнить кубиками двух типов: $2\times2\times2$ и $1\times1\times1$ так, чтобы не оставалось пустого места и общее количество кубиков оказалось наименьшим. Сколько потребуется кубиков?
   
   

Решения задач

1. Вычислите: $469 \cdot 408 : 476 - 208$
   Решение:
   $469 \cdot 408 = 191352$
   $191352 : 476 = 402$
   $402 - 208 = 194$
   Ответ: 194.
2. Решите задачу с пояснениями:
   На расстоянии 180 метров друг от друга растут яблоня и груша. Яша и Гриша одновременно побежали навстречу друг другу: Яша от яблони до груши, а Гриша от груши до яблони. Они встретились через 18 секунд после старта, а ещё через 12 секунд Гриша добежал до яблони. Сколько секунд Яша бежал от места встречи до груши?
   Решение:
   Суммарная скорость Яши и Гриши: $\frac{180}{18} = 10$ м/с. Гриша пробежал после встречи путь Яши за $12$ сек: $Скорость\ Гриши = \frac{S_{я}}{12}$, где $S_{я} = 18 \cdot v_{я}$. Скорость Яши $v_{я}$, Гриши $10 - v_{я}$. Из соотношения $S_{я} = (10 - v_{я}) \cdot 12 = 18 \cdot v_{я}$ получаем $v_{я} = 4$ м/с. Путь после встречи для Яши: $(10 - 4) \cdot 18 = 108$ м. Время: $\frac{108}{4} = 27$ сек.
   Ответ: 27.
3. Решите задачу с пояснениями:
   На полу квадратной комнаты лежит прямоугольный ковёр. Расстояния от стен до ковра — 50 см, 80 см, 90 см и 1 м. Периметр ковра 10 м. Найдите сторону комнаты.
   Решение:
   Сторона комнаты: $S$ метров. Расстояния до стен: $0,5 + 0,8 = 1,3$ м и $0,9 + 1 = 1,9$ м. Стороны ковра: $S - 1,3$ и $S - 1,9$. Периметр ковра: $2 \cdot (S - 1,3 + S - 1,9) = 10$ м.
   $4S - 6,4 = 10$, откуда $S = \frac{16,4}{4} = 4,1$ м.
   Ответ: 4,1 м.
4. Перемножили два числа. Первый множитель в 15 раз меньше произведения, а второй множитель в 3 раза меньше первого. Чему равно произведение?
   Решение:
   Пусть произведение $P$, тогда первый множитель $\frac{P}{15}$, второй $\frac{P}{45}$. Произведение: $\frac{P}{15} \cdot \frac{P}{45} = P$ откуда $P = 675$.
   Ответ: 675.
5. В корзине лежат белые грибы, подберёзовики и подосиновики, всего 53 гриба. Подосиновиков в 6 раз меньше, чем подберёзовиков. Подберёзовиков больше, чем белых. Сколько белых грибов может быть в корзине? Найдите все возможные ответы и запишите их через запятую.
   Решение:
   Пусть подосиновиков $x$, тогда подберёзовиков $6x$, а белых $53 - 7x$. Условие $6x > 53 - 7x$ и $x \ge 5$. Возможные значения $x:5,6,7$ → белых грибов соответственно $18,11,4$.
   Ответ: 18,11,4.
6. Ваня написал на доске трёхзначное число и потом дописал в конце цифру 8. Если теперь у получившегося четырёхзначного числа стереть первую цифру, останется ровно половина исходного трёхзначного числа. Какое число написал Ваня сначала?
   Решение:
   Исходное число $N$, новое число $10N + 8$. После удаления первой цифры: $\frac{N}{2} = (10N + 8) \mod 1000$. Решение уравнения показывает $N = 736$.
   Ответ: 736.
7. Штрих-код состоит из чередующихся чёрных и белых полосок. Крайние полоски — чёрные. Чёрные полоски бывают узкие и широкие. Белых полосок на 11 больше, чем широких чёрных, и на 6 больше, чем узких чёрных. Сколько чёрных и сколько белых полосок на штрих-коде?
   Решение:
   Пусть широких чёрных $Ш$, узких $У$. Белых полос $б = Ш +11 = У +6$. Ответ: $Ш=7$, $У=12$, белых $18$. Всего чёрных $7 +12=19$.
   Ответ: 19 чёрных и 18 белых.
8. Надо коробку размером $5\times13\times3$ заполнить кубиками двух типов: $2\times2\times2$ и $1\times1\times1$ так, чтобы не оставалось пустого места и общее количество кубиков оказалось наименьшим. Сколько потребуется кубиков?
   Решение:
   Максимально возможное количество больших кубиков: $2\times6\times1=12$. Оставшийся объём: $195 - 12\cdot8 =99$ заполняется мелкими кубиками. Всего: $12 +99=111$.
   Ответ: 111.