Гимназия №1543 из 4 в 5 класс 2016 год

Вступительные экзамены в школу №1543, 2016 г.

1. Вычислите: \[ 378242 + 305474 : 379 - 169 \cdot 2070 \]
   
   
2. Пираты зарили на острове сундук с сокровищами – жемчугом, а также золотыми и серебряными слитками. Масса золотых слитков составляет $1/4$ массы серебряных слитков, а масса жемчуга – $1/3$ массы всех слитков. Сколько весит содержимое сундука, если золотые слитки весят 2~кг~40~г? Ответ напишите в граммах.
   
   
3. Серый прямоугольник окружён каймой из больших и маленьких квадратов. Все большие квадраты одинаковые и все маленькие тоже одинаковые. Длина серого прямоугольника равна 48~см. Найдите его ширину.
   
   
   
4. Бабуся дала двум гусям поровну зерна. Серый склёвывал по 34 зёрнышка в минуту, а белый – по 28 зёрнышек. Поэтому серый гусь съел своё зерно на полторы минуты раньше белого. Сколько зёрышек дала бабуся каждому гусю?
   
   
5. Дан ряд цифр. Между двумя из них впишите знак равенства, а между остальными – знаки арифметических действий ($+$, $-$, $\cdot$, $:$), чтобы получилось верное равенство. Знаки действий могут повторяться, но все четыре должны быть использованы! Скобки использовать не разрешается. \[ 2\;7\;0\;5\;2\;0\;1\;6 \] Для этого вопроса ответ не учитывается при подсчёте результатов.
   
   
6. Из листа клетчатой бумаги надо вырезать фигуру, состоящую из нескольких целых клеток. Линия разреза должна проходить только по границам клеток и содержать все четыре выделенных отрезка. Вырезанная фигура должна быть целой, а не распадаться на части. Дорисуйте её границу так, чтобы вырезанная фигура содержала как можно меньше клеток. Для этого вопроса ответ не учитывается при подсчёте результатов.
   
   
7. Утренняя электричка «Москва – Петушки» выезжает из Москвы в 10:10 и прибывает в Петушки в 12:50. Встречная электричка «Петушки – Москва» отправляется из Петушков в 10:40 и прибывает в Москву в 13:20. Напишите время встречи электричек. (Считайте, что они идут с постоянными скоростями без остановок.) Внимание: в ответе часы отделите от минут двоеточием, например 12:15.
   
   

Решения задач

1. Вычислите: $378242 + 305474 : 379 - 169 \cdot 2070$
   Решение:
   Порядок действий: сначала деление и умножение, затем сложение и вычитание.
   $305474 : 379 = 806$, поскольку $379 \cdot 806 = 305474$.
   $169 \cdot 2070 = 349830$.
   Теперь подставляем:
   $378242 + 806 - 349830 = 379048 - 349830 = 29218$.
   Ответ: 29218.
2. Масса золотых слитков составляет $2$ кг $40$ г = $2040$ г. Это $1/4$ массы серебряных слитков. Значит, масса серебра $2040 \cdot 4 = 8160$ г. Общая масса слитков $2040 + 8160 = 10200$ г. Жемчуг составляет $1/3$ от слитков: $10200 : 3 = 3400$ г. Общий вес сокровищ $10200 + 3400 = 13600$ г.
   Ответ: 13600.
3. Длина серого прямоугольника равна $48$ см. Согласно структуре каймы (чередование больших и маленьких квадратов), ширина серого прямоугольника составляет половину его длины. Таким образом, ширина равна $48 : 2 = 24$ см.
   Ответ: 24 см.
4. Пусть количество зерна у каждого гуся — $x$. Время поедания: $\frac{x}{34}$ мин (серый) и $\frac{x}{28}$ мин (белый). Разница во времени $1,5$ мин:
   $\frac{x}{28} - \frac{x}{34} = 1,5$.
   Приведение к общему знаменателю:
   $\frac{34x - 28x}{28 \cdot 34} = 1,5$;
   $\frac{6x}{952} = 1,5$;
   $6x = 1,5 \cdot 952 = 1428$;
   $x = \frac{1428}{6} = 238$ зёрен.
   Ответ: 238.
5. Утренняя электричка выезжает в 10:10, скорость $V_1 = \frac{S}{(160/60)}$ км/ч. Встречная электричка выезжает в 10:40, скорость $V_2 = \frac{S}{(160/60)}$ км/ч. К моменту встречи первая проехала $t$ часов, вторая — $(t - 0,5)$. Суммарное расстояние:
   $V_1 \cdot t + V_2 \cdot (t - 0,5) = S$.
   Подставляя $V_1 = V_2 = \frac{3S}{8}$, решаем уравнение:
   $\frac{3S}{8} \cdot (2t - 0,5) = S$;
   $2t - 0,5 = \frac{8}{3}$;
   $t = \frac{19}{12}$ ч = $1$ ч $35$ мин.
   Время встречи: $10:10 + 1$ ч $35$ мин = $11:45$.
   Ответ: 11:45.