8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Школа №1535 из 7 в 8 класс 2021 год вариант 1

Сложность:
Дата экзамена: 2021
Сложность:
Дата экзамена: 2021
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1535


2020 год




  1. Вступительное испытание проводится в дистанционной форме. Продолжительность — 120 минут. Максимальное количество баллов, начисляемых за задачу, указано рядом с её номером. Максимальная сумма баллов — 50. Использование калькуляторов и любых справочных пособий (печатных, электронных, сетевых и пр.) запрещено. Не допускаются никакие виды общения, консультаций. Нарушение инструкции влечёт приостановку экзамена и выставление отметки «0».

  2. Ответом на каждое из заданий №1–5 может быть целое число или конечная десятичная дробь. Используйте запятую как десятичный разделитель. Внимательно читайте условие задачи и не указывайте единицы измерения в ответе.

  3. Задания №6–10 требуют развёрнутого решения. Для записи решений используйте специальные бланки, полученные на сайте школы №1535. Решения можно излагать в произвольном порядке. Запишите сначала номер задачи, затем полное обоснованное решение и в конце — ответ. Решения должны быть изложены подробно и аккуратно. После завершения экзамена закройте сессию, затем отправьте сканы решений по адресу, указанному на сайте школы №1535.


Желаем Вам успешно справиться с заданиями!

  1. (4 балла) Найдите значение выражения наиболее рациональным способом: \[ \dfrac{0{,}46^3 - 0{,}26^3}{0{,}2} - 3 \cdot 0{,}26 \cdot 0{,}46 \]

  2. (5 баллов) Прямоугольный кусок волшебной кожи («шагреневая кожа») исполняет желания своего владельца, но после каждого исполнения желания он уменьшается вдвое по длине и на треть по ширине. После 5 желаний площадь кожи составила 12 см\(^2\), а после двух желаний ширина была 9 см. Какой была длина после первого желания?

  3. (5 баллов) Решите уравнение: \[ (x - 2)^2(x - 3) = (x + 1)^2(x - 12) \] В ответе укажите среднее арифметическое всех его различных корней.

  4. (5 баллов) Из пункта \( A \) в пункт \( B \), расстояние между которыми 8 км, одновременно отправились два лыжника. Скорость одного из них на 4 км/ч меньше скорости второго. Лыжник, который первым прибыл в \( B \), сразу повернул обратно и встретил другого через 45 минут после отправления из \( A \). На каком расстоянии (в км) от пункта \( A \) произошла их встреча?

  5. (7 баллов)
    1. Графиком линейной функции является прямая \( l \), проходящая через точку \( M(-60;\ -175) \) и параллельная прямой \( y = 3x + 1535 \). Найти формулу этой функции и построить её график.
    2. Найти все значения \( q \), при которых сразу три прямые — \( l \), и прямые, заданные уравнениями: \[ y = (3 - q)x + 2q - 1 \quad \text{и} \quad y = 8x - 4 \] пересекаются в одной точке.
    3. Найти все значения \( p \), при которых прямая: \[ y = |p| \cdot x + \dfrac{1}{12} \] пересекает ось абсцисс в той же точке, что и прямая \( l \).


  6. (5 баллов) Натуральное число \( X \) при делении на 13 даёт остаток 7. Какой остаток при делении на 13 будет давать число \( X^2 - 2X \)?

  7. (5 баллов) Биссектрисы углов \( A \) и \( B \) остроугольного треугольника \( ABC \) пересекаются в точке \( O \), \( \angle AOB = 115^\circ \). Высоты, опущенные из вершин \( B \) и \( C \), пересекаются в точке \( H \), при этом \( \angle BHC = 110^\circ \). Найдите градусные меры углов треугольника \( ABC \).

  8. (по 3 балла за каждый пункт) Разложите на множители:
    1. \( 75m^2 - 30mn + 3n^2 - 2n + 10m \)
    2. \( x^2 - x - 6 \)
    3. \( (a + b)^3 - (a - b)^3 \)


  9. (5 баллов) Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите значение выражения наиболее рациональным способом: \[ \dfrac{0{,}46^3 - 0{,}26^3}{0{,}2} - 3 \cdot 0{,}26 \cdot 0{,}46 \] Решение: \[ \frac{0{,}46^3 - 0{,}26^3}{0{,}2} = \frac{(0{,}46 - 0{,}26)(0{,}46^2 + 0{,}46 \cdot 0{,}26 + 0{,}26^2)}{0{,}2} = 0{,}46^2 + 0{,}46 \cdot 0{,}26 + 0{,}26^2 \] \[ \text{Итоговое выражение:} \quad 0{,}46^2 - 2 \cdot 0{,}46 \cdot 0{,}26 + 0{,}26^2 = (0{,}46 - 0{,}26)^2 = 0{,}2^2 = 0{,}04 \] Ответ: 0,04.

  2. После 5 желаний площадь кожи уменьшилась до 12 см\(^2\), после двух желаний ширина была 9 см. Пусть исходная площадь \(S = LW\). После каждого желания площадь умножается на \(\frac{1}{3}\). Тогда: \[ S_5 = S \cdot \frac{1}{3^5} = 12 \quad \Rightarrow \quad S = 12 \cdot 3^5 = 2916 \text{ см}^2 \] После двух желаний ширина: \[ W_2 = W \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad W = 20{,}25 \text{ см} \] Исходная длина: \[ L = \frac{S}{W} = \frac{2916}{20{,}25} = 144 \text{ см} \] После первого желания длина: \[ \frac{144}{2} = 72 \text{ см} \] Ответ: 72.

  3. Решите уравнение: \[ (x - 2)^2(x - 3) = (x + 1)^2(x - 12) \] Раскроем скобки и приведём подобные: \[ x^3 - 7x^2 + 16x - 12 = x^3 - 10x^2 - 23x - 12 \] \[ 3x^2 + 39x = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x(x + 13) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0; \quad x = -13 \] Среднее арифметическое корней: \[ \frac{0 + (-13)}{2} = -6{,}5 \] Ответ: -6,5.

  4. Пусть скорость медленного лыжника \(v\) км/ч, тогда скорость быстрого \(v + 4\) км/ч. Время до встречи 45 минут (\(0{,}75\) ч). Расстояние, пройденное каждым: \[ S_{\text{быстр}} = 8 + (8 - 0{,}75v),\quad S_{\text{медл}} = 0{,}75v \] Составим уравнение: \[ 16 - 0{,}75(v + 4) = 0{,}75v \quad \Rightarrow \quad 1{,}5v = 13 \quad \Rightarrow \quad v = \frac{26}{3} \] Расстояние от \(A\): \[ S = 0{,}75 \cdot \frac{26}{3} = 6{,}5 \text{ км} \] Ответ: 6,5.

    1. Прямая \(l\) параллельна \(y = 3x + 1535\), значит \(k = 3\). Подставляя точку \(M(-60;\ -175)\): \[ -175 = 3 \cdot (-60) + b \quad \Rightarrow \quad b = 5 \quad \Rightarrow \quad y = 3x + 5 \]

    2. Точка пересечения \(l\) и \(y = 8x - 4\): \[ 3x + 5 = 8x - 4 \quad \Rightarrow \quad x = 1{,}8;\quad y = 10{,}4 \] Подставляя в уравнение третьей прямой: \[ 10{,}4 = (3 - q) \cdot 1{,}8 + 2q - 1 \quad \Rightarrow \quad q = 30 \]

    3. Точка пересечения \(l\) с осью абсцисс: \[ 3x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{5}{3} \] Уравнение: \[ |p| \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) + \frac{1}{12} = 0 \quad \Rightarrow \quad |p| = 0{,}05 \quad \Rightarrow \quad p = \pm0{,}05 \]
    Ответы:
    1. \(y = 3x + 5\)
    2. \(30\)
    3. \(\pm0{,}05\)


  6. \(X = 13k + 7\). Найдём \(X^2 - 2X\) по модулю 13: \[ X^2 - 2X \equiv 7^2 - 2 \cdot 7 = 49 - 14 = 35 \equiv 9 \pmod{13} \] Ответ: 9.

  7. Из свойств биссектрис и высот: \[ \angle AOB = 90^\circ + \frac{\angle C}{2} = 115^\circ \quad \Rightarrow \quad \angle C = 50^\circ \] \[ \angle BHC = 180^\circ - \angle A = 110^\circ \quad \Rightarrow \quad \angle A = 70^\circ \quad \Rightarrow \quad \angle B = 60^\circ \] Ответ: \(50^\circ,\ 60^\circ,\ 70^\circ\).

    1. \[ 75m^2 - 30mn + 3n^2 - 2n + 10m = 3(5m - n)^2 + 2(5m - n) = (5m - n)(15m - 3n + 2) \]
    2. \[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \]
    3. \[ (a + b)^3 - (a - b)^3 = 4ab(a + b) \]


  9. В равнобедренном треугольнике угол при вершине \(B\) равен \(\alpha\), тогда биссектриса внешнего угла делит \(180^\circ - \alpha\) пополам: \[ \angle CBM = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \] Углы при основании \(\frac{180^\circ - \alpha}{2}\), что совпадает с \(\angle CBM\), значит, биссектриса параллельна основанию.
Материалы школы Юайти