Школа №1535 из 6 в 7 класс 2020 год вариант 1-1

ЛИЦЕЙ №1535

2020 год

1. Никанор спросил у Никодима: «Сколько тебе лет?» Никодим ответил: «Если мой возраст умножить на 2 и отнять 6, то получится 14!» Сколько же лет Никодиму?
   
   
2. На доске написана буква. Каждую минуту Вася проделывает следующее: если на доске была написана гласная, Вася её стирает и записывает вместо неё ближайшую следующую по алфавиту согласную. А если была согласная — ближайшую гласную. Через 5 минут на доске оказалась буква Ф. Какая буква была написана сначала?
   
   
3. Два ковбоя играли на монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет второму, потом второй — половину своих, потом снова первый — половину своих. В результате у первого оказалось 75 монет, а у второго — 165. Сколько монет было у первого ковбоя в начале?
   
   
4. Два пирата играли на монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет второму, потом второй — половину своих, потом снова первый — половину своих. В результате у первого оказалось 15 монет, у второго — 33. Сколько монет было у каждого пирата до начала игры?
   
   
5. На прямой отметили несколько точек. Между каждыми двумя соседними точками отметили ещё по точке. Такое «уплотнение» повторили ещё дважды. Всего получилось 113 точек. Сколько точек было первоначально?
   
   
6. Бабушка посадила вдоль дорожки несколько роз. Внучка добавила: между 1 и 2 — одну, между 2 и 3 — две, между 3 и 4 — три и т.д. Всего стало 2016 роз. Сколько посадила бабушка?
   
   
7. Федя выставляет по одной шашке на доску 10×10. Докажите, что в некоторый момент одна шашка сможет съесть другую.
   
   
8. Если у Муми-мамы есть мука, она печёт пирог. Чтобы испечь пирог, она идёт в погреб за вареньем, а для этого зовёт Муми-тролля с лестницей. Сегодня никто не пользовался лестницей. Докажите, что муки не было.
   
   
9. В 5-м классе среди любой пары учеников есть девочка. Есть ли хотя бы два мальчика?
   
   
10. В коробке у Пети 7 жёлтых и 8 зелёных карандашей. Сколько карандашей надо вытащить, не глядя, чтобы точно нарисовать крокодила?
    
    
11. В мешке у Пети 3 красных и 5 зелёных яблок. Он хочет подарить по одному красному и одному зелёному Маше. Сколько нужно вытащить яблок, не глядя?
    
    
12. В коробке 20 карандашей — по 2 одного цвета. Сколько нужно вытащить, не глядя, чтобы начать рисовать с сестрой одинаковыми?
    
    
13. В сумке у Пети 3 вида конфет. Сколько конфет надо вытащить, чтобы точно оказалось 4 конфеты одного вида?
    
    
14. В коробке есть белые, чёрные и красные шарики. Чтобы точно достать один чёрный — нужно взять 20 шариков, белый — 18, красный — 25. Сколько шариков каждого цвета?
    
    
15. Галки и палки: если на каждую палку по галке — не хватает одной палки, если по две галки — остаётся палка. Сколько галок и палок?
    
    
16. В Африке обезьяны делят бананы и ананасы. Если каждая возьмёт по банану — одной не хватит. Если по ананасу — двум не хватит. Если каждый возьмёт что-то одно — останется 3 фрукта. Сколько всего?
    
    
17. Ученики съели 95 конфет. Каждый мальчик — по 3, каждая девочка — по 5. Всего 25 учеников. Сколько мальчиков и девочек?
    
    
18. У бабушки 1000 кур и кроликов. Всего 3150 ног. Сколько кого?
    
    
19. Незнайка нарисовал 3 прямые, на каждой — по 3 точки, всего 6 точек. Как?
20. Простоквашино. Если Шарик, сидящий слева, сядет между Матроскиным и Фёдором, то Фёдор окажется слева. Кто где сидит?

Решения задач

1. Никанор спросил у Никодима: «Сколько тебе лет?» Никодим ответил: «Если мой возраст умножить на 2 и отнять 6, то получится 14!» Сколько же лет Никодиму?
   Решение: Составим уравнение по условию:
   $2x - 6 = 14$
   $2x = 20$
   $x = 10$
   Ответ: 10.
   
   
2. На доске написана буква. Каждую минуту Вася проделывает следующее: если на доске была написана гласная, Вася её стирает и записывает вместо неё ближайшую следующую по алфавиту согласную. А если была согласная — ближайшую гласную. Через 5 минут на доске оказалась буква Ф. Какая буква была написана сначала?
   Решение: Построим обратную цепочку преобразований:
   Ф (согласная) ← У (гласная) ← Т (согласная) ← Ы (гласная) ← Ц (согласная) ← И (гласная)
   Ответ: И.
   
   
3. Два ковбоя играли на монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет второму, потом второй — половину своих, потом снова первый — половину своих. В результате у первого оказалось 75 монет, а у второго — 165. Сколько монет было у первого ковбоя в начале?
   Решение: Решаем с конца:
   После 3-го шага: 1-й — 75, 2-й — 165
   Перед 3-м шагом: 1-й — 150, 2-й — 90
   Перед 2-м шагом: 2-й — 180, 1-й — 60
   Перед 1-м шагом: 1-й — 120, 2-й — 120
   Ответ: 120.
   
   
4. Два пирата играли на монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет второму, потом второй — половину своих, потом снова первый — половину своих. В результате у первого оказалось 15 монет, у второго — 33. Сколько монет было у каждого пирата до начала игры?
   Решение: Аналогично предыдущей задаче:
   После 3-го шага: 1-й — 15, 2-й — 33
   Перед 3-м шагом: 1-й — 30, 2-й — 18
   Перед 2-м шагом: 2-й — 36, 1-й — 12
   Перед 1-м шагом: 1-й — 24, 2-й — 24
   Ответ: 24.
   
   
5. На прямой отметили несколько точек. Между каждыми двумя соседними точками отметили ещё по точке. Такое «уплотнение» повторили ещё дважды. Всего получилось 113 точек. Сколько точек было первоначально?
   Решение: Формула после k уплотнений: $N_k = N_0 \cdot 2^k - (2^k - 1)$
   Для k=3: $8N_0 - 7 = 113$
   $8N_0 = 120 \Rightarrow N_0 = 15$
   Ответ: 15.
   
   
6. Бабушка посадила вдоль дорожки несколько роз. Внучка добавила: между 1 и 2 — одну, между 2 и 3 — две, между 3 и 4 — три и т.д. Всего стало 2016 роз. Сколько посадила бабушка?
   Решение: Сумма добавленных роз: $\frac{(N-1)N}{2}$
   Уравнение: $N + \frac{(N-1)N}{2} = 2016$
   Решение: $N^2 + N - 4032 = 0 \Rightarrow N=63$
   Ответ: 63.
   
   
7. Федя выставляет по одной шашке на доску 10×10. Докажите, что в некоторый момент одна шашка сможет съесть другую.
   Решение: На 11-й шашке в какой-то строке окажутся две шашки. По правилам шашек, если они стоят на соседних клетках по диагонали, одна может съесть другую.
8. Если у Муми-мамы есть мука, она печёт пирог. Чтобы испечь пирог, она идёт в погреб за вареньем, а для этого зовёт Муми-тролля с лестницей. Сегодня никто не пользовался лестницей. Докажите, что муки не было.
   Решение: Если бы мука была → потребовалась лестница → лестницей пользовались. Противоречие с условием.
9. В 5-м классе среди любой пары учеников есть девочка. Есть ли хотя бы два мальчика?
   Решение: Если бы было два мальчика, в паре из них не было бы девочки. Противоречие.
   Ответ: Нет.
   
   
10. В коробке у Пети 7 жёлтых и 8 зелёных карандашей. Сколько карандашей надо вытащить, не глядя, чтобы точно нарисовать крокодила?
    Решение: Достаточно 8 карандашей (любого цвета).
    Ответ: 8.
    
    
11. В мешке у Пети 3 красных и 5 зелёных яблок. Он хочет подарить по одному красному и одному зелёному Маше. Сколько нужно вытащить яблок, не глядя?
    Решение: Наихудший случай: 5 зелёных +1 красное = 6
    Ответ: 6.
    
    
12. В коробке 20 карандашей — по 2 одного цвета. Сколько нужно вытащить, не глядя, чтобы начать рисовать с сестрой одинаковыми?
    Решение: По принципу Дирихле: 10 цветов → 11 карандашей
    Ответ: 11.
    
    
13. В сумке у Пети 3 вида конфет. Сколько конфет надо вытащить, чтобы точно оказалось 4 конфеты одного вида?
    Решение: Наихудший случай: 3×3=9 конфет. Следующая — 10-я даст 4-ю.
    Ответ: 10.
    
    
14. В коробке есть белые, чёрные и красные шарики. Чтобы точно достать один чёрный — нужно взять 20 шариков, белый — 18, красный — 25. Сколько шариков каждого цвета?
    Решение:
    Чёрных: 20-1=19 других → 11 чёрных
    Белых: 18-1=17 других → 13 белых
    Красных: 25-1=24 других → 6 красных
    Ответ: 11 чёрных, 13 белых, 6 красных.
    
    
15. Галки и палки: если на каждую палку по галке — не хватает одной палки, если по две галки — остаётся палка. Сколько галок и палок?
    Решение:
    Г = П +1
    2(П-1) = Г
    Решение: П=3, Г=4
    Ответ: 4 галки, 3 палки.
    
    
16. В Африке обезьяны делят бананы и ананасы. Если каждая возьмёт по банану — одной не хватит. Если по ананасу — двум не хватит. Если каждый возьмёт что-то одно — останется 3 фрукта. Сколько всего?
    Решение:
    Обезьян: О
    Б = О-1, А = О-2
    Б + А = О +3
    Решение: О=6, Б=5, А=4
    Ответ: 6 обезьян, 5 бананов, 4 ананаса.
    
    
17. Ученики съели 95 конфет. Каждый мальчик — по 3, каждая девочка — по 5. Всего 25 учеников. Сколько мальчиков и девочек?
    Решение: Система:
    3М +5Д =95
    М +Д =25
    Решение: М=15, Д=10
    Ответ: 15 мальчиков, 10 девочек.
    
    
18. У бабушки 1000 кур и кроликов. Всего 3150 ног. Сколько кого?
    Решение: Система:
    К +Кр =1000
    2К +4Кр =3150
    Решение: К=425, Кр=575
    Ответ: 425 кур, 575 кроликов.
    
    
19. Незнайка нарисовал 3 прямые, на каждой — по 3 точки, всего 6 точек. Как?
    Решение: Три прямые пересекаются в трёх различных точках. Каждая прямая содержит две точки пересечения и одну уникальную.
20. Простоквашино. Если Шарик, сидящий слева, сядет между Матроскиным и Фёдором, то Фёдор окажется слева. Кто где сидит?
    Решение: Исходный порядок: Шарик (слева), Фёдор, Матроскин, Печкин (справа).
    После пересадки: Фёдор, Шарик, Матроскин, Печкин.
    Ответ: Шарик, Фёдор, Матроскин, Печкин.