школа класс год вариант если есть

ШКОЛА №57

2020 год

2 тур

1. Внутри шляпы волшебника живут 100 кроликов: белые, синие и зелёные. Известно, что если произвольно вытащить из шляпы 81 кролика, то среди них обязательно найдутся три разноцветных. Какое наименьшее количество кроликов нужно достать, чтобы среди них точно было два разноцветных?
   
   
2. Имеется 6 шаров, среди которых три радиоактивных, и три детектора, в каждый из которых можно вложить три шара, после чего детектор укажет, есть ли среди них радиоактивный. Известно, что один из детекторов всегда даёт верные показания, второй — всегда неправильные, а третий — как повезёт. Возможно ли определить, какие из шаров радиоактивные?
   
   
3. Штирлиц передавал шифровку в Штаб. Шифровка состоит из 7 цифр 0 и 1. Первые четыре цифры — это сообщение, оставшиеся три вычисляются так:
   • 5-й бит: 1, если сумма первых трёх битов нечётна; 0, если чётна.
   • 6-й бит: 1, если сумма 1-го, 3-го и 4-го битов нечётна; иначе 0.
   • 7-й бит: 1, если сумма 1-го, 2-го и 4-го битов нечётна; иначе 0.
   Например, если Штирлиц передаёт \text{0110}, то 5-й бит = 0, 6-й = 1, 7-й = 1, и шифровка: $0110011$.
   
   
   1. а) В штабе получили сообщение \text{1001010}. Докажите, что в нём есть ошибка.
   2. б) Восстановите сообщение, которое пытался передать Штирлиц.
   3. в) Докажите, что какую бы шифровку ни передавал Штирлиц, штаб всегда сможет её восстановить, если известно, что ошибок не больше одной.
   
   
   

Решения задач

1. Внутри шляпы волшебника живут 100 кроликов: белые, синие и зелёные. Известно, что если произвольно вытащить из шляпы 81 кролика, то среди них обязательно найдутся три разноцветных. Какое наименьшее количество кроликов нужно достать, чтобы среди них точно было два разноцветных?
   Решение: По условию, извлечение 81 кролика гарантирует наличие трёх цветов. Это означает, что никакие два цвета не содержат в сумме 81 кролика. Следовательно, максимальное количество кроликов одного цвета равно 60, а два других — по 20. Для гарантированного наличия двух цветов необходимо извлечь на один кролика больше максимального количества одного цвета.
   Ответ: $\boxed{61}$.
2. Имеется 6 шаров, среди которых три радиоактивных, и три детектора, в каждый из которых можно вложить три шара, после чего детектор укажет, есть ли среди них радиоактивный. Известно, что один из детекторов всегда даёт верные показания, второй — всегда неправильные, а третий — как повезёт. Возможно ли определить, какие из шаров радиоактивные?
   Решение: Да, возможно. Распределим шары в детекторы так, чтобы каждый радиоактивный шар участвовал в двух разных проверках. Например:
   • Детектор 1: шары A, B, C
   • Детектор 2: шары D, E, C
   • Детектор 3: шары A, D, B
   Противоречивые ответы детекторов позволят выявить правдивый и ложный детекторы через пересечение результатов. Радиоактивные шары определяются по пересечению положительных ответов правдивого детектора.
   Ответ: \boxed{\text{Да, возможно}}.
3. Шифровка состоит из 7 цифр 0 и 1. Первые четыре цифры — сообщение, оставшиеся три — контрольные суммы:
   • 5-й бит: сумма первых трёх битов по модулю 2.
   • 6-й бит: сумма 1-го, 3-го и 4-го битов по модулю 2.
   • 7-й бит: сумма 1-го, 2-го и 4-го битов по модулю 2.
   1. [а)] Получено сообщение \texttt{1001010}. Проверим контрольные суммы:
      - 5-й бит: $1+0+0 = 1$ (ожидаем 1, получено 0) — ошибка.
      - 6-й бит: $1+0+1 = 0$ (ожидаем 0, получено 1) — ошибка.
      - 7-й бит: $1+0+1 = 0$ (совпадает).
      Ответ: Ошибка присутствует.
   2. [б)] Исправление ошибки: Несовпадение в битах 5 и 6 указывает на ошибку в бите 3. Исправляем его с 0 на 1. Исходное сообщение: \texttt{1011010} $\Rightarrow$ первые четыре бита: \texttt{1011}.
      Ответ: \boxed{1011}.
   3. [в)] Каждый информационный бит влияет на уникальную комбинацию контрольных сумм. Ошибка в одном бите вызывает уникальный набор несовпадений контрольных сумм, что позволяет определить и исправить её.
      Пример: Ошибка в бите 1 затрагивает все три контрольные суммы, ошибка в бите 3 — биты 5 и 6 и т.д. Система позволяет однозначно локализовать ошибку.