школа класс год вариант

ШКОЛА №57

2020 год

1 тур

1. Найдите все пятизначные числа, у которых каждая цифра строго больше суммы цифр, стоящих правее неё (в частности, четвёртая цифра больше пятой).
   
   
2. Разбейте какой-нибудь прямоугольник на 5 прямоугольников так, чтобы ни из каких двух прямоугольников разбиения нельзя было сложить прямоугольник.
   
   
3. На острове живут рыцари (всегда говорят правду) и лжецы (всегда лгут). Путешественник подошёл к группе из 20 островитян. Первый сказал: «Среди нас ... рыцарей». Путешественник не расслышал число, и спросил у второго: «Что он сказал?». Тот ответил: «Он сказал, что среди нас 10 рыцарей». Тогда третий закричал: «Не верьте второму! Он лжёт!», четвёртый сказал: «Не верьте третьему! Он лжёт!» — и так далее до двадцатого, который обвинил в лжи девятнадцатого. Сколько рыцарей в этой компании?
   
   
4. В 15-литровые вёдра налито соответственно 1, 2, 3, 4 и 5 литров воды. Разрешается переливать из любого ведра в любое другое вдвое больше воды, чем в нём уже есть. Можно ли собрать всю воду в одном ведре?
   
   
5. На некоторых (но не всех) клетках шахматной доски \(8 \times 8\) стоят шашки. Оказалось, что для каждой свободной клетки количество шашек, стоящих с ней на одной горизонтали и на одной вертикали, в сумме равно 2. Сколько всего шашек может быть на доске?
   
   
6. Дано 2016 карточек, пронумерованных от 1 до 2016. Можно ли разложить их в 64 стопки так, чтобы в любых двух стопках нашлись либо две карточки с последовательными номерами, либо карточки с номерами 1 и 2016?

Решения задач

1. Внутри шляпы волшебника живут 100 кроликов: белые, синие и зелёные. Известно, что если произвольно вытащить из шляпы 81 кролика, то среди них обязательно найдутся три разноцветных. Какое наименьшее количество кроликов нужно достать, чтобы среди них точно было два разноцветных?
   Решение: По условию, извлечение 81 кролика гарантирует наличие трёх цветов. Это означает, что никакие два цвета не содержат в сумме 81 кролика. Следовательно, максимальное количество кроликов одного цвета равно 60, а два других — по 20. Для гарантированного наличия двух цветов необходимо извлечь на один кролика больше максимального количества одного цвета.
   Ответ: \boxed{61}.
2. Имеется 6 шаров, среди которых три радиоактивных, и три детектора, в каждый из которых можно вложить три шара, после чего детектор укажет, есть ли среди них радиоактивный. Известно, что один из детекторов всегда даёт верные показания, второй — всегда неправильные, а третий — как повезёт. Возможно ли определить, какие из шаров радиоактивные?
   Решение: Да, возможно. Распределим шары в детекторы так, чтобы каждый радиоактивный шар участвовал в двух разных проверках. Например:
   • Детектор 1: шары A, B, C
   • Детектор 2: шары D, E, C
   • Детектор 3: шары A, D, B
   Противоречивые ответы детекторов позволят выявить правдивый и ложный детекторы через пересечение результатов. Радиоактивные шары определяются по пересечению положительных ответов правдивого детектора.
   Ответ: \boxed{\text{Да, возможно}}.
3. Шифровка состоит из 7 цифр 0 и 1. Первые четыре цифры — сообщение, оставшиеся три — контрольные суммы:
   • 5-й бит: сумма первых трёх битов по модулю 2.
   • 6-й бит: сумма 1-го, 3-го и 4-го битов по модулю 2.
   • 7-й бит: сумма 1-го, 2-го и 4-го битов по модулю 2.
   1. [а)] Получено сообщение \texttt{1001010}. Проверим контрольные суммы:
      - 5-й бит: $1+0+0 = 1$ (ожидаем 1, получено 0) — ошибка.
      - 6-й бит: $1+0+1 = 0$ (ожидаем 0, получено 1) — ошибка.
      - 7-й бит: $1+0+1 = 0$ (совпадает).
      Ответ: Ошибка присутствует.
   2. [б)] Исправление ошибки: Несовпадение в битах 5 и 6 указывает на ошибку в бите 3. Исправляем его с 0 на 1. Исходное сообщение: \texttt{1011010} $\Rightarrow$ первые четыре бита: \texttt{1011}.
      Ответ: \boxed{1011}.
   3. [в)] Каждый информационный бит влияет на уникальную комбинацию контрольных сумм. Ошибка в одном бите вызывает уникальный набор несовпадений контрольных сумм, что позволяет определить и исправить её.
      Пример: Ошибка в бите 1 затрагивает все три контрольные суммы, ошибка в бите 3 — биты 5 и 6 и т.д. Система позволяет однозначно локализовать ошибку.