Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 5 в 6 класс 2022 год вариант 1, 4 марта

Школа им. Чуйкова

2020

11.05.2021

1. Имеется три кучки камней: в первой — 25, во второй — 49, в третьей — 81. Ход состоит в разбиении каждой кучки, состоящей более чем из одного камня, на две меньшие кучки. Играют двое. Выигрывает тот, после чьего хода во всех кучках будет по одному камню. Кто из игроков может гарантировать себе победу и как?
   
   
2. Квадрат \(6 \times 6\) замостили по линиям сетки 18 одинаковыми прямоугольниками. Докажите, что можно провести прямолинейный разрез по линии сетки, не повредив ни одного из этих прямоугольников.
   
   
3. В некотором царстве есть перекрёсток 33 прямых дорог, расходящихся под равными углами. Рабочие установили на перекрёстке столб с табличками-стрелками, на которых написаны названия дорог, на которые они должны указывать. Однако таблички перепутали, и каждая указывает не на ту дорогу, название которой на ней написано. Можно ли повернуть столб так, чтобы по крайней мере две стрелки указывали на верные дороги?
   
   
4. Из листа клетчатой бумаги размером \(59 \times 59\) клеточек вырезали 399 квадратиков \(2 \times 2\) (режут по линиям). Докажите, что из оставшейся части листа можно вырезать ещё хотя бы один такой же квадратик.
   
   
5. На клетчатой доске \(7 \times 7\) расставлены 7 не бьющих друг друга ладей. Каждую из этих ладей передвинули ходом коня. Докажите, что теперь какие-то две ладьи бьют друг друга.
   
   
6. Докажите, что среди любых 7 натуральных чисел можно выбрать два числа, сумма или разность которых делится на 10.

Решения задач

1. Первый игрок может гарантировать победу. Стратегия основана на симметрии: после каждого хода первого игрока второй вынужден нарушать симметрию, что позволяет первому завершить разбиение последней кучки. Ответ: первый игрок.
   
   
2. Рассмотрим вертикальные линии между столбцами. Всего 5 внутренних вертикальных линий. Каждый горизонтальный прямоугольник пересекает максимум одну вертикальную линию. Поскольку горизонтальных прямоугольников не более 9 (в каждом из 6 рядов по 1.5 прямоугольника), а вертикальных линий 5, по принципу Дирихле найдётся линия, не пересекающая ни одного прямоугольника. Ответ: можно провести разрез.
   
   
3. Да, можно. Рассмотрим все возможные повороты столба. Если бы при каждом повороте совпадала ровно одна стрелка, суммарное количество совпадений равнялось бы 33. Но это невозможно, так как каждая стрелка может совпасть только при одном повороте, а поворотов 33. Значит, существует поворот с ≥2 совпадениями. Ответ: да.
   
   
4. Максимальное количество непересекающихся квадратов 2×2 в сетке 59×59 равно 29×29=841. Поскольку вырезано только 399, осталось 442 свободных блока. Ответ: можно вырезать ещё.
   
   
5. После перемещения ладей ходом коня чётность их позиций изменится. В доске 7×7 чётных строк 3, нечётных — 4. Из 7 ладей минимум две попадут в одну строку или столбец. Ответ: доказано.
   
   
6. Рассмотрим остатки чисел по модулю 10. Среди 7 чисел либо найдутся два с одинаковым остатком (разность делится на 10), либо два остатка, дающих в сумме 10. Ответ: доказано.