Школа им. Чуйкова (СИЛАЭДР) из 5 в 6 класс 13 марта 2026

ШКОЛА ИМ. ЧУЙКОВА | СИЛАЭДР

Вариант 1. (переход 5 $\to$ 6 класс)

Письменный тур. Математика

13 марта 2026

• На решение отводится 90 минут.
• Во всех задачах требуется дать обоснованный ответ.
• Во всех задачах требуется найти все варианты ответа и доказать, что других вариантов нет.
• Желаем удачи!

1. Вычислите значение выражения: \[ \frac{13}{15}:\frac{3}{5}+\frac{7}{10}\cdot\frac{2}{3} \]
2. Посчитайте площадь четырехугольника $ABCD$ (в клеточках) на картинке справа.
3. На берегу реки стоит деревня Грушовка, а на некотором расстоянии вниз по течению от нее находится деревня Яблочково. Из Грушовки в Яблочково отправился пароход с собственной скоростью 15 км/ч, а из Яблочково в Грушовку в это же время выплыл катер с собственной скоростью 45 км/ч. Найдите скорость течения реки, если известно, что катер добрался до Грушовки в 2 раза быстрее, чем пароход доплыл до Яблочково.
4. Саша нарисовал белой краской на двух шестеренках силуэт пятиугольника, как показано на рисунке, после чего шестеренки начали вращение. Через какое количество оборотов маленькой шестеренки силуэт впервые вернется в первоначальное положение?
   
5. Маша, Алина и Снежана собираются съесть торт. Известно, что Маша и Алина вместе съедают такой торт за 15 минут, Маша и Снежана – за 12 минут, Алина и Снежана – за 20 минут. За какое время все три девочки вместе съедят этот торт?
6. Найдите наибольший общий делитель чисел 2747 и 1927.

ШКОЛА ИМ. ЧУЙКОВА | СИЛАЭДР

Вариант 1. Решения (переход 5 $\to$ 6 класс)

Письменный тур. Математика

13 марта 2026

1. Задача. Вычислить значение выражения $\frac{13}{15}:\frac{3}{5}+\frac{7}{10}\cdot\frac{2}{3}$.
   Решение. Сначала выполним деление и умножение: $\frac{13}{15}:\frac{3}{5}=\frac{13}{15}\cdot\frac{5}{3}=\frac{13}{9}$
   $\frac{7}{10}\cdot\frac{2}{3}=\frac{14}{30}=\frac{7}{15}$
   Теперь сложим полученные дроби: $\frac{13}{9}+\frac{7}{15}=\frac{65}{45}+\frac{21}{45}=\frac{86}{45} = 1\frac{41}{45}$.
   Ответ. $1\frac{41}{45}$.
   
2. Задача. Найти площадь четырехугольника $ABCD$ на клетчатой бумаге.
   
   
   
   Решение. Достроим вокруг четырехугольника прямоугольник размером $6\times 6$ клеток. Его площадь равна $6\cdot 6=36$. Вне четырехугольника внутри этого прямоугольника остаются три прямоугольных треугольника с площадями $\frac{6\cdot 2}{2}=6$, $\frac{4\cdot 2}{2}=4$ и $\frac{2\cdot 6}{2}=6$. Тогда площадь самого четырехугольника равна $36-6-4-6=20$.
   Ответ. $20$ клеток.
   
3. Задача. Из Грушовки в Яблочково по течению отправился пароход с собственной скоростью 15 км/ч, а из Яблочкова в Грушовку против течения выплыл катер с собственной скоростью 45 км/ч. Известно, что катер затратил на путь в 2 раза меньше времени. Найти скорость течения реки.
   Решение. Пусть скорость течения равна $x$ км/ч. Тогда пароход плыл по течению со скоростью $15+x$, а катер против течения – со скоростью $45-x$. Они прошли одно и то же расстояние, а катер затратил в 2 раза меньше времени, значит его скорость была в 2 раза больше: $45-x=2(15+x)$. \[45-x=30+2x\] \[15=3x\] \[x=5\]
   Ответ. $5$ км/ч.
   
4. Задача. На двух шестеренках нарисован силуэт пятиугольника. Нужно узнать, через сколько оборотов маленькой шестеренки силуэт впервые вернется в первоначальное положение.
   Решение. По рисунку видно, что у маленькой шестеренки 10 зубцов, а у большой 16 зубцов. Значит за 1 оборот маленькой шестеренки большая повернется на $\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$ оборота. Чтобы силуэт снова оказался в начальном положении, обе шестеренки должны вернуться в свои начальные положения. Маленькая шестеренка возвращается после целого числа своих оборотов, а для большой число оборотов тоже должно быть целым. Наименьшее число оборотов маленькой шестеренки, при котором $\frac{5}{8}$ от этого числа будет целым, равно 8.
   Ответ. Через 8 оборотов маленькой шестеренки.
   
5. Задача. Маша и Алина вместе съедают торт за 15 минут, Маша и Снежана – за 12 минут, Алина и Снежана – за 20 минут. Найти, за сколько минут все три девочки вместе съедят торт.
   Решение. За 1 минуту Маша и Алина съедают $\frac{1}{15}$ торта, Маша и Снежана – $\frac{1}{12}$ торта, Алина и Снежана – $\frac{1}{20}$ торта.
   Сложим: $\frac{1}{15}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}=\frac{4+5+3}{60}=\frac{12}{60}=\frac{1}{5}$.
   В этой сумме каждая девочка посчитана два раза, значит все трое вместе съедают $\frac{1}{10}$ торта за минуту. Тогда весь торт они съедят за $10$ минут.
   Ответ. 10 минут.
   
6. Задача. Найти наибольший общий делитель чисел 2747 и 1927.
   Решение. Воспользуемся алгоритмом Евклида.
   $2747-1927=820$, значит любой общий делитель чисел 2747 и 1927 делит и число 820.
   $1927=820\cdot 2+287$, значит общий делитель делит и 287.
   $820=287\cdot 2+246$, а $287=246+41$, значит общий делитель делит и 41.
   Теперь проверим число 41: $246=41\cdot 6$, $287=41\cdot 7$, $820=41\cdot 20$, $1927=41\cdot 47$, $2747=41\cdot 67$. Значит 41 делит оба исходных числа, поэтому это и есть их наибольший общий делитель.
   Ответ. 41.