8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Примаковская гимназия из 7 в 8 класс 2023 год

Сложность:
Дата экзамена: 02.2023
Сложность:
Дата экзамена: 02.2023
youit.school ©

Примаковская гимназия


2023


12.07.2023



  1. Выполните действия:
    1. \( \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{10} \right) \cdot 24 \)
    2. \( -3a^4b^4 \cdot 3a^2b^2 \)
    3. \( \frac{12^8}{3^6 \cdot 4^3 \cdot 6} \)
    4. \( \frac{24^7}{36} \)


  2. Сократите дробь:
    1. \( \frac{(x - 5)^2}{10 - 2x} \)
    2. \( \frac{1 - 2b + b^2}{2b - 1} \)


  3. Упростите выражение:
    1. \( \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right) \div \frac{1}{xy} \)
    2. \( (r^2 - 1)^2 - r^2(r^2 - 1) \)
    3. \( (5a - 4)^2 - (2a - 1)(3a + 7) \)
    4. \( (3 - b)(3 + b) + (5 + b)^2 \)
    5. \( \frac{m^2}{m - n} - \frac{mn}{n - m} + \frac{m}{m + n} \) при \( m = -0.8 \), \( n = 0.4 \)


  4. Решите уравнение:
    1. \( 2 - 3(x + 2) = 5 - 2x \)
    2. \( 0.4x = 0.4(2x + 2) \)


  5. Решите систему уравнений:
    1. \[ \begin{cases} 3x - y = 3 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases} \]
    2. \[ \begin{cases} 12x - 35y = 25 \\ -8x - 15y = -55 \end{cases} \]


  6. Решите неравенство:
    1. \( 2(x + 1) \leq x + 6 \)
    2. \( 3(x + 1) \leq x + 5 \)


  7. Постройте график функции \( y = -2x + 6 \) и ответьте на вопрос, принадлежит ли ему точка \( A(-35; 76) \)

  8. График функции \( y = kx + b \) пересекает оси координат в точках \( C(0; 15) \) и \( D(-5; 0) \). Найдите значения \( k \) и \( b \).

  9. В треугольнике \( ABC \) угол \( A = 75^\circ \), \( AC = BC \). Найдите угол \( C \).

  10. Два угла треугольника равны \( 61^\circ \) и \( 31^\circ \). Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов.

  11. В треугольнике \( ABC \), \( AC = BC \), \( AD \) — высота, угол \( \angle BAD = 34^\circ \). Найдите угол \( C \).

  12. Один из внешних углов треугольника равен \( 36^\circ \). Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 1:2. Найдите наибольший из них.

  13. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение третьего и четвёртого из этих чисел на 24 больше произведения первого и второго.

  14. В первом мешке в 3 раза больше муки, чем во втором. Когда из первого мешка взяли 8 кг муки, а во второй добавили 12 кг, то в мешках муки стало поровну. Сколько килограммов муки было в каждом мешке сначала?

  15. Сколько существует трёхзначных чисел, у которых последняя цифра 5?

  16. Основание одного сторого равнобедренного треугольника, если его периметр равен 48 см, а основание на 6 см больше боковой стороны?

  17. В треугольнике \( ABC \) известно, что \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A = 60^\circ \), отрезок \( AM \) — биссектриса треугольника. Найдите длину отрезка \( BM = CM \).

  18. В равнобедренном треугольнике \( ABC \) на продолжении боковых сторон \( AC \) и \( BC \) за вершину \( C \) отметили точки \( E \) и \( D \) соответственно, так что \( DE \parallel AB \). Докажите, что \( DC = EC \).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Выполните действия:
    1. \( \left( \frac{5}{6} + \frac{1}{10} \right) \cdot 24 \)
      Решение: \[ \left( \frac{25}{30} + \frac{3}{30} \right) \cdot 24 = \frac{28}{30} \cdot 24 = \frac{14}{15} \cdot 24 = \frac{336}{15} = 22{,}4 \] Ответ: 22,4.
    2. \( -3a^4b^4 \cdot 3a^2b^2 \)
      Решение: \[ -3 \cdot 3 \cdot a^{4+2}b^{4+2} = -9a^6b^6 \] Ответ: \(-9a^6b^6\).
    3. \( \frac{12^8}{3^6 \cdot 4^3 \cdot 6} \)
      Решение: \[ \frac{(3 \cdot 4)^8}{3^6 \cdot 4^3 \cdot 6} = \frac{3^8 \cdot 4^8}{3^6 \cdot 4^3 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{3^8 \cdot 4^8}{3^7 \cdot 4^3 \cdot 2} = 3 \cdot 4^5 / 2 = 3 \cdot 1024 / 2 = 1536 \] Ответ: 1536.
    4. \( \frac{24^7}{36} \)
      Решение: \[ \frac{(24^2)^3 \cdot 24}{36} = \frac{576^3 \cdot 24}{36} = 576^3 \cdot \frac{24}{36} = 576^3 \cdot \frac{2}{3} \] Ответ: \(576^3 \cdot \frac{2}{3}\).


  2. Сократите дробь:
    1. \( \frac{(x - 5)^2}{10 - 2x} \)
      Решение: \[ \frac{(x - 5)^2}{-2(x - 5)} = -\frac{x - 5}{2} \] Ответ: \(-\frac{x - 5}{2}\).
    2. \( \frac{1 - 2b + b^2}{2b - 1} \)
      Решение: \[ \frac{(1 - b)^2}{2b - 1} = \frac{(b - 1)^2}{2b - 1} \] Ответ: \(\frac{(b - 1)^2}{2b - 1}\).


  3. Упростите выражение:
    1. \( \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right) \div \frac{1}{xy} \)
      Решение: \[ \left( \frac{y - x}{xy} \right) \cdot xy = y - x \] Ответ: \(y - x\).
    2. \( (r^2 - 1)^2 - r^2(r^2 - 1) \)
      Решение: \[ (r^2 - 1)(r^2 - 1 - r^2) = (r^2 - 1)(-1) = 1 - r^2 \] Ответ: \(1 - r^2\).
    3. \( (5a - 4)^2 - (2a - 1)(3a + 7) \)
      Решение: \[ 25a^2 - 40a + 16 - (6a^2 + 11a - 7) = 19a^2 - 51a + 23 \] Ответ: \(19a^2 - 51a + 23\).
    4. \( (3 - b)(3 + b) + (5 + b)^2 \)
      Решение: \[ 9 - b^2 + 25 + 10b + b^2 = 34 + 10b \] Ответ: \(34 + 10b\).
    5. \( \frac{m^2}{m - n} - \frac{mn}{n - m} + \frac{m}{m + n} \) при \( m = -0{,}8 \), \( n = 0{,}4 \)
      Решение: \[ \frac{m^2}{m - n} + \frac{mn}{m - n} + \frac{m}{m + n} = \frac{m(m + n)}{m - n} + \frac{m}{m + n} \] Подстановка значений: \[ \frac{-0{,}8(-0{,}4)}{-1{,}2} + \frac{-0{,}8}{-0{,}4} = \frac{0{,}32}{-1{,}2} + 2 = -\frac{4}{15} + 2 = \frac{26}{15} \] Ответ: \(\frac{26}{15}\).


  4. Решите уравнение:
    1. \( 2 - 3(x + 2) = 5 - 2x \)
      Решение: \[ 2 - 3x - 6 = 5 - 2x \implies -3x - 4 = 5 - 2x \implies -x = 9 \implies x = -9 \] Ответ: \(-9\).
    2. \( 0{,}4x = 0{,}4(2x + 2) \)
      Решение: \[ x = 2x + 2 \implies -x = 2 \implies x = -2 \] Ответ: \(-2\).


  5. Решите систему уравнений:
    1. \[ \begin{cases} 3x - y = 3 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases} \] Решение: \[ \text{Вычитаем уравнения: } y = 3 \implies 3x - 3 = 3 \implies x = 2 \] Ответ: \((2; 3)\).
    2. \[ \begin{cases} 12x - 35y = 25 \\ -8x - 15y = -55 \end{cases} \] Решение: \[ \text{Умножаем первое на 2, второе на 3: } 24x - 70y = 50 \newline \text{ и } -24x - 45y = -165 \implies -115y = -115 \implies y = 1 \implies x = 5 \] Ответ: \((5; 1)\).


  6. Решите неравенство:
    1. \( 2(x + 1) \leq x + 6 \)
      Решение: \[ 2x + 2 \leq x + 6 \implies x \leq 4 \] Ответ: \(x \leq 4\).
    2. \( 3(x + 1) \leq x + 5 \)
      Решение: \[ 3x + 3 \leq x + 5 \implies 2x \leq 2 \implies x \leq 1 \] Ответ: \(x \leq 1\).


  7. Постройте график функции \( y = -2x + 6 \). Принадлежит ли точка \( A(-35; 76) \) графику?
    Решение: Подстановка \( x = -35 \): \[ y = -2(-35) + 6 = 70 + 6 = 76 \] Ответ: Да, принадлежит.

  8. График функции \( y = kx + b \) пересекает оси в точках \( C(0; 15) \) и \( D(-5; 0) \). Найдите \( k \) и \( b \).
    Решение: \[ b = 15 \implies 0 = -5k + 15 \implies k = 3 \] Ответ: \(k = 3\), \(b = 15\).

  9. В треугольнике \( ABC \), \( AC = BC \), \( \angle A = 75^\circ \). Найдите угол \( C \).
    Решение: \[ \angle B = 75^\circ \implies \angle C = 180^\circ - 2 \cdot 75^\circ = 30^\circ \] Ответ: \(30^\circ\).

  10. Два угла треугольника \( 61^\circ \) и \( 31^\circ \). Найдите тупой угол между высотами из этих вершин.
    Решение: Третий угол \( 88^\circ \). Угол между высотами: \[ 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ \] Ответ: \(92^\circ\).

  11. В треугольнике \( ABC \), \( AC = BC \), \( AD \) — высота, \( \angle BAD = 34^\circ \). Найдите угол \( C \).
    Решение: \[ \angle ABD = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ \implies \angle BAC = 56^\circ \implies \angle C = 180^\circ - 2 \cdot 56^\circ = 68^\circ \] Ответ: \(68^\circ\).

  12. Внешний угол треугольника \( 36^\circ \), несмежные углы относятся 1:2. Найдите наибольший угол.
    Решение: \[ x + 2x = 36^\circ \implies x = 12^\circ \implies \text{Наибольший угол } 24^\circ \] Ответ: \(24^\circ\).

  13. Четыре последовательных натуральных числа: произведение третьего и четвёртого на 24 больше произведения первого и второго.
    Решение: Уравнение: \[ (n+2)(n+3) = n(n+1) + 24 \implies 4n + 6 = 24 \implies n = 4{,}5 \] Ответ: Нет натуральных решений.

  14. В первом мешке в 3 раза больше муки, чем во втором. После изменений стало поровну:
    Решение: \[ 3x - 8 = x + 12 \implies 2x = 20 \implies x = 10 \implies 3x = 30 \] Ответ: 30 кг и 10 кг.

  15. Сколько трёхзначных чисел оканчиваются на 5?
    Решение: \[ 9 \cdot 10 = 90 \] Ответ: 90.

  16. Основание равнобедренного треугольника:
    Решение: \[ 2x + x + 6 = 48 \implies 3x = 42 \implies x = 14 \implies \text{Основание } 20 \text{ см} \] Ответ: 20 см.

  17. В треугольнике \( ABC \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A = 60^\circ \), \( AM \) — биссектриса. Найдите \( BM = CM \).
    Решение: Используя свойство биссектрисы: \[ \frac{BM}{MC} = \frac{AB}{AC} = \frac{2}{\sqrt{3}} \implies BM = \frac{2}{2 + \sqrt{3}} \cdot BC \] Ответ: \(BM = CM\) при условии задачи не выполняется.

  18. В равнобедренном треугольнике \( ABC \), точки \( E \) и \( D \) на продолжениях сторон, \( DE \parallel AB \). Докажите \( DC = EC \).
    Решение: Подобие треугольников \( ABC \) и \( EDC \): \[ \frac{AC}{EC} = \frac{BC}{DC} \implies EC = DC \text{ (т.к. } AC = BC\text{)} \] Ответ: Доказано.
Материалы школы Юайти