Московская школа на Юго-Западе № 1543 из 4 в 5 класс 2025 год вариант 1
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ №1543
2025 год
13.05.2025
Вариант 1
- Решите задачу с пояснениями: Прямоугольник разрезали на пять равных квадратов. Оказалось, что сумма периметров этих пяти квадратов на $120$ см больше, чем периметр исходного прямоугольника. Найдите площадь исходного прямоугольника.
- Решите задачу с пояснениями: В ларьке есть розы и гвоздики, всего $630$ цветов, причём роз в $6$ раз меньше, чем гвоздик. Общая стоимость всех роз составляет треть стоимости всех цветов. Что и на сколько рублей дороже, одна роза или одна гвоздика, если все розы, вместе взятые, стоят $24300$ рублей?
- Вычислите: $50103-(405\cdot 709-381):138$.
- Решите задачу с пояснениями: Петя и Вася идут друг другу навстречу, каждый из своего дома. Если они выйдут одновременно, то от места встречи будет по $1$ км до дома каждого из них. Но Петя вышел на $5$ минут раньше Васи, поэтому они встретились в $800$ метрах от Васиного дома. За сколько минут Петя может дойти от своего дома до Васиного?
- Запишите наименьшее шестизначное число, в котором цифр, больших $6$, не меньше, чем цифр, меньших $6$.
- Медвежата дали лисе квадратный ломтик сыра массой $72$ грамма. Лиса съела часть сыра так, что остались два одинаковых квадратных ломтика. Периметр каждого из них втрое меньше периметра исходного кусочка. Сколько граммов сыра съела лиса?
- В библиотеке есть $20$ книжных полок, на которых расставлены $543$ книги. На любых трёх подряд идущих полках находится ровно $80$ книг. Сколько книг стоит на $12$-й полке?
- Галя пронумеровала все клетки таблицы, соблюдая правило: любая пара клеток с соседними номерами имеет общую сторону. Сумма номеров серых клеток у Гали равна $8+12+14+15=49$. Занумеруйте клетки пустой таблицы, соблюдая это же правило, но чтобы сумма чисел в четырёх серых клетках была как можно меньше.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Прямоугольник разрезали на пять равных квадратов. Сумма периметров пяти квадратов на 120 см больше периметра прямоугольника. Площадь исходного прямоугольника.
Решение: Пусть сторона квадрата равна \( a \). Тогда прямоугольник состоит из пяти квадратов, его размеры \( 5a \times a \).
Сумма периметров пяти квадратов: \( 5 \cdot 4a = 20a \).
Периметр прямоугольника: \( 2(5a + a) = 12a \).
Разность периметров: \( 20a - 12a = 8a = 120 \) см ⇒ \( a = 15 \) см.
Площадь прямоугольника: \( 5a \cdot a = 5 \cdot 15 \cdot 15 = 1125 \) см².
Ответ: 1125 см². - Всего 630 цветов: розы и гвоздики. Роз в 6 раз меньше. Стоимость всех роз — 24300 руб, что составляет треть общей стоимости. Определить, что дороже (роза или гвоздика) и на сколько рублей.
Решение: Пусть количество роз — \( x \), тогда гвоздик — \( 6x \).
Всего цветов: \( x + 6x = 630 \) ⇒ \( x = 90 \). Роз — 90, гвоздик —540.
Цена розы: \( \frac{24300}{90} = 270 \) руб.
Общая стоимость всех цветов: \( 24300 \cdot 3 = 72900 \) руб.
Стоимость гвоздик: \( 72900 - 24300 = 48600 \) ⇒ цена гвоздики: \( \frac{48600}{540} = 90 \) руб.
Разница: \( 270 - 90 = 180 \) руб.
Ответ: Роза дороже гвоздики на 180 руб. - Вычислить: \( 50103-(405\cdot 709-381):138 \).
Решение:
\( 405 \cdot 709 = 287145 \),
\( 287145 - 381 = 286764 \),
\( 286764 : 138 = 2078 \),
\( 50103 - 2078 = 48025 \).
Ответ: 48025. - Петя вышел на 5 минут раньше Васи. При одновременном выходе встреча на равном расстоянии (1 км каждому). При раннем выходе Пети встреча в 800 м от Васиного дома. Сколько минут Пете идти до Васиного дома?
Решение: Скорости одинаковы. Расстояние между домами — 2 км. Пусть время Васи до встречи \( t \) часов. Петя шел \( t + \frac{5}{60} = t + \frac{1}{12} \).
Путь Пети: \( 2000 - 800 = 1200 \) м = 1,2 км.
Уравнение: \( \frac{1,2}{t + \frac{1}{12}} = \frac{0,8}{t} \)
Решение: \( t = \frac{1}{6} \) часа = 10 минут.
Скорость Пети: \( \frac{1,2}{\frac{1}{6} + \frac{1}{12}} = 4,8 \) км/ч.
Время до Васиного дома: \( \frac{2}{4,8} = \frac{5}{12} \) часа = 25 минут.
Ответ: 25 минут. - Запишите наименьшее шестизначное число, в котором цифр, больших 6, не меньше, чем цифр, меньших 6.
Решение: Минимальное число — 100777. Другие варианты содержат большие цифры или не удовлетворяют условию.
Ответ: 100777. - Лиса съела часть сыра, осталось два квадратных ломтика с периметром втрое меньше исходного. Масса съеденного сыра.
Решение: Сторона исходного сыра - \( a \).
Площадь: \( a^2 = 72 \) г .
Площадь маленьких кусков: \( 2 \cdot \left(\frac{a}{3}\right)^2 = \frac{2a^2}{9} \).
Масса оставшегося сыра: \( \frac{2}{9} \cdot 72 = 16 \) г.
Съедено: \( 72 - 16 = 56 \) г.
Ответ: 56 г. - Есть 20 полок. Если взять любые 3 подряд, на них вместе всегда 80 книг.
Заметим узор
Посмотрим на тройки:
\(1+2+3 = 80\) \( 2+3+4 = 80\) Если из второго вычесть первое, получаем: на 4-й столько же, сколько на 1-й.Так же выходит, что 5-я как 2-я, 6-я как 3-я и т.д. Значит, полки идут по кругу:1-я, 4-я, 7-я, 10-я, 13-я, 16-я, 19-я — одинаковые 2-я, 5-я, 8-я, 11-я, 14-я, 17-я, 20-я — одинаковые 3-я, 6-я, 9-я, 12-я, 15-я, 18-я — одинаковые
Обозначим:
на таких полках: x, y, z книг,и знаем: \(x + y + z = 80\) (любые три подряд дают 80)
Посчитаем все книги
Всего 20 полок и 543 книги.Сколько каких полок?
типа x — 7 штук,
типа y — 7 штук,
типа z — 6 штук.
Итого: \(7x + 7y + 6z = 543\).
Подставим из «тройки»: z = 80 - (x + y).Тогда:
\(7x + 7y + 6(80 - (x + y)) = 543\)
\(7x + 7y + 480 - 6x - 6y = 543\)
\((x + y) + 480 = 543\)
\(x + y = 63\)
Значит \(z = 80 - 63 = 17.\)
На 12-й полке?
12-я полка — это как 3-я, 6-я, 9-я, 12-я… то есть типа z.А z = 17.
Ответ: на 12-й полке 17 книг.
- Минимальная сумма серых клеток при нумерации с общими сторонами.
Решение:
Посмотрим на 4 серые клетки: они стоят «крест-накрест» и все одного цвета.
Значит, номера на этих серых клетках будут идти через одно: …, 1, 3, 5, 7, … или …, 2, 4, 6, 8, ….
Чтобы сумма была наименьшей, лучше всего поставить на серые клетки самые маленькие подходящие числа: 1, 3, 5 и 7.
Их сумма: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 — меньше уже не получится (из-за чередования цветов 1,2,3,4 поставить одновременно на эти 4 серые клетки нельзя).
Ответ: Минимально возможная сумма в четырёх серых клетках — 16.
Материалы школы Юайти