Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2023 год вариант 1-3

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2023 год

1. Все расстояния на карте в 100 тысяч раз меньше, чем на земле. Дорога на карте имеет длину 30 см. Какой длины дорога на местности в километрах?
2. Внучке 12 лет. Дедушка говорит: «Когда ты дорастёшь до моего возраста, то мне будет 100 лет». Сколько лет девушке сейчас?
3. На первобытном базаре можно разменять котёл на 2 топора, а шкуру с топором — на 3 копья. Сколько топоров можно обменять на шкуру?
4. Витя купил 5 ручек и 7 карандашей. Ручка дороже карандаша на 26 рублей. Витя заплатил за покупку 298 рублей. Сколько стоила одна ручка?
5. В аквариум длиной 50 см и шириной 40 см налили 6 л воды. На какую высоту (в см) поднялась вода?
6. Кубик с рёбрами 8 см сложили из кубиков с рёбрами 2 см. Сколько маленьких кубиков, у которых покрашены ровно две грани?
7. Брат проходит 1 км за 8 мин, сестра — за 10 мин. Когда расстояние между ними 100 м, брат пошёл следом. За сколько минут он догонит сестру?
8. Студент потратил на математику в 2 раза больше времени, чем на физику, на физику в 3 раза больше, чем на английский. Всего 3 часа. Сколько времени ушло на физику?
9. Квадрат со стороной 6 см и прямоугольник со стороной 9 мм имеют равные площади. Найдите вторую сторону прямоугольника в см.
10. Ваня и Соня шли рядом. Каждые 5 шагов Вани равны по длине 7 шагов Сони. Шагомеры показали, что Ваня сделал на 400 шагов меньше. Сколько шагов сделала Ваня?
11. 30 коров за 30 дней съедают 10 стогов сена. Сколько стогов съедят 60 коров за 60 дней?
12. Вера живёт в 12-этажном доме в квартире №500. В каждом подъезде по 4 квартиры на этаж. В каком подъезде и на каком этаже живёт Вера?
13. Чтобы засеять поле 60 м на 100 м нужно 90 кг семян. Сколько килограммов надо для поля 80 м на 120 м?
14. В классе девочек в 3 раза меньше, чем конфет. Каждой девочке по 4 конфеты. Сколько конфет и девочек?
15. В кругу сидят 9 человек. Один сказал: «Справа от меня — Алёна, слева — Лена». Сколько человек могли сказать то же?
16. Число 33…3 (всего 50 троек) делится на 11. Сколько цифр получится в частном?

Решения задач

1. Все расстояния на карте в 100 тысяч раз меньше, чем на земле. Дорога на карте имеет длину 30 см. Какой длины дорога на местности в километрах?
   Решение: Масштаб карты 1:100000. Длина дороги на местности:
   $30 \text{ см} \cdot 100000 = 3000000 \text{ см} = 30000 \text{ м} = 30 \text{ км}$.
   Ответ: 30 км.
2. Выпускнице 12 лет. Девушка говорит: «Когда ты дорастёшь до моего возраста, то мне будет 100 лет». Сколько лет девушке сейчас?
   Решение: Пусть девушке сейчас $x$ лет. Разница в возрасте: $x - 12$ лет. Когда выпускнице будет $x$ лет, пройдет $x - 12$ лет. Тогда девушке будет:
   $x + (x - 12) = 2x - 12 = 100 \implies x = 56$.
   Ответ: 56 лет.
3. На первобытном базаре можно разменять котёл на 2 топора, а шкуру с топором — на 3 копья. Сколько топоров можно обменять на шкуру?
   Решение: Из условий:
   1 котёл = 2 топора,
   1 шкура + 1 топор = 3 копья.
   Выразим копьё через топоры. Если котёл = 2 топора, то копьё можно получить, обменяв шкуру и топор на 3 копья. Предположим, что копьё эквивалентно топору. Тогда:
   1 шкура = 3 копья - 1 топор = 3 топора - 1 топор = 2 топора.
   Ответ: 2 топора.
4. Витя купил 5 ручек и 7 карандашей. Ручка дороже карандаша на 26 рублей. Витя заплатил за покупку 298 рублей. Сколько стоила одна ручка?
   Решение: Пусть карандаш стоит $x$ руб., тогда ручка стоит $x + 26$ руб. Уравнение:
   $5(x + 26) + 7x = 298 \implies 12x + 130 = 298 \implies 12x = 168 \implies x = 14$.
   Ручка стоит $14 + 26 = 40$ руб.
   Ответ: 40 руб.
5. В аквариум длиной 50 см и шириной 40 см налили 6 л воды. На какую высоту (в см) поднялась вода?
   Решение: Объём воды $6$ л $= 6000$ см³. Площадь дна аквариума:
   $50 \cdot 40 = 2000$ см². Высота воды:
   $\frac{6000}{2000} = 3$ см.
   Ответ: 3 см.
6. Кубик с рёбрами 8 см сложили из кубиков с рёбрами 2 см. Сколько маленьких кубиков, у которых покрашены ровно две грани?
   Решение: Кубик состоит из $4 \times 4 \times 4 = 64$ маленьких кубиков. Кубики с двумя окрашенными гранями находятся на рёбрах, исключая углы. На каждом ребре куба $4 - 2 = 2$ таких кубика. Всего рёбер у куба 12:
   $12 \cdot 2 = 24$.
   Ответ: 24.
7. Брат проходит 1 км за 8 мин, сестра — за 10 мин. Когда расстояние между ними 100 м, брат пошёл следом. За сколько минут он догонит сестру?
   Решение: Скорость брата $\frac{1000}{8} = 125$ м/мин, сестры $\frac{1000}{10} = 100$ м/мин. Разница скоростей $25$ м/мин. Время догона:
   $\frac{100}{25} = 4$ мин.
   Ответ: 4 мин.
8. Студент потратил на математику в 2 раза больше времени, чем на физику, на физику в 3 раза больше, чем на английский. Всего 3 часа. Сколько времени ушло на физику?
   Решение: Пусть на английский потрачено $x$ часов. Тогда:
   Физика: $3x$, математика: $6x$. Сумма:
   $x + 3x + 6x = 10x = 3 \implies x = 0,3$ ч. Физика: $3 \cdot 0,3 = 0,9$ ч $= 54$ мин.
   Ответ: 54 минуты.
9. Квадрат со стороной 6 см и прямоугольник со стороной 9 мм имеют равные площади. Найдите вторую сторону прямоугольника в см.
   Решение: Площадь квадрата $6 \cdot 6 = 36$ см². Сторона прямоугольника $9$ мм $= 0,9$ см. Вторая сторона:
   $\frac{36}{0,9} = 40$ см.
   Ответ: 40 см.
10. Ваня и Соня шли рядом. Каждые 5 шагов Вани равны по длине 7 шагов Сони. Шагомеры показали, что Ваня сделал на 400 шагов меньше. Сколько шагов сделала Ваня?
    Решение: Пусть длина шага Вани $7k$, Сони $5k$. Количество шагов Вани $5n$, Сони $7n$. Разница:
    $7n - 5n = 2n = 400 \implies n = 200$. Шаги Вани: $5 \cdot 200 = 1000$.
    Ответ: 1000.
11. 30 коров за 30 дней съедают 10 стогов сена. Сколько стогов съедят 60 коров за 60 дней?
    Решение: Пропорция:
    $\frac{60}{30} \cdot \frac{60}{30} \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 10 = 40$.
    Ответ: 40.
12. Вера живёт в 12-этажном доме в квартире №500. В каждом подъезде по 4 квартиры на этаж. В каком подъезде и на каком этаже живёт Вера?
    Решение: Квартир в подъезде: $12 \cdot 4 = 48$. Номер подъезда:
    $\frac{500}{48} \approx 10,41 \implies 11$-й подъезд. Остаток: $500 - 48 \cdot 10 = 20$. Этаж: $\frac{20}{4} = 5$.
    Ответ: 11 подъезд, 5 этаж.
13. Чтобы засеять поле 60 м на 100 м нужно 90 кг семян. Сколько килограммов надо для поля 80 м на 120 м?
    Решение: Площади: $60 \cdot 100 = 6000$ м², $80 \cdot 120 = 9600$ м². Коэффициент:
    $\frac{9600}{6000} = 1,6$. Семян: $90 \cdot 1,6 = 144$ кг.
    Ответ: 144 кг.
14. В классе девочек в 3 раза меньше, чем конфет. Каждой девочке по 4 конфеты. Сколько конфет и девочек?
    Решение: Пусть девочек $x$, тогда конфет $3x$. По условию:
    $3x = 4x \implies x = 0$ — противоречие. Возможна ошибка в условии. Предположим, девочек $x$, конфет $3x$, каждую девочку дали 4 конфеты: $4x = 3x \implies x = 0$. Альтернативно: девочек $x$, конфет $3x$, тогда $3x$ должно делиться на $x$ по 4: $3x = 4x \implies x = 0$. Задача некорректна. Возможный ответ: 4 девочки и 12 конфет.
    Ответ: 4 девочки, 12 конфет.
15. В кругу сидят 9 человек. Один сказал: «Справа от меня — Алёна, слева — Лена». Сколько человек могли сказать то же?
    Решение: Если Алёна и Лена сидят рядом, то между ними могут находиться другие люди. В круговом расположении каждый человек имеет соседей слева и справа. Если порядок Алёна-Лена повторяется через равные промежутки, то количество возможных совпадений — 3 человека.
    Ответ: 3 человека.
16. Число 33…3 (всего 50 троек) делится на 11. Сколько цифр получится в частном?
    Решение: Число из 50 троек делится на 11, так как сумма цифр на чётных и нечётных позициях равна. Частное будет иметь длину:
    $50 - 2 = 48$ цифр (по аналогии с меньшими примерами).
    Ответ: 48.