Лицей СКФУ (г. Ставрополь) из 8 в 9 класс 2016 год вариант 1

ЛИЦЕЙ СКФУ (СТАВРОПОЛЬ)

2016 год

1. Вычислить $\left(\frac{b^{2}-a^{2} b}{b^{3}}-\frac{1-a}{b}\right)\left(\frac{1}{b-a}: \frac{1}{b}+\frac{1}{a}: \frac{1}{b}\right)$ при $a=0,998, b=0,999$
   ИЛИ
   Решить уравнение $\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-3}=\frac{1}{4 x}$
2. Разложить на множители: $x y-z y-x^{2}+2 x z-z^{2}$.
   ИЛИ
   Решить неравенство $\frac{1,5-x}{\frac{7}{3}-1} \geq 0,75+x$ и изобразить все его решения на числовой прямой.
   
   Блок В
   
3. Построить на одном чертеже графики функций $y=0,5 x-1$ и $y=x^{2}-2 x$, указав точки пересечения обоих графиков с осями координат и между собой, если такие точки существуют. Выделить на оси абсцисс все те точки, в которых значение линейной функции строго больше значения квадратной.
   ИЛИ
   Внутри треугольника $A B C$ отмечена точка $O$ так, что $O A=O B=O C$. Угол $A O B$ равен $50^{\circ}$, угол $B O C$ равен $150^{\circ}$. Найти углы треугольника $A B C$.
4. Найти значение выражения $\frac{b^{2}-a b}{a^{2}+a b}$, если известно, что $\frac{a-4}{b-8}=\frac{a-1}{b-2} .$
   
   Блок С
   
5. Автомобилист выехал из города $A$ в город $B$ и проехал $\frac{1}{4}$ пути, когда вдогонку за ним отправился мотоциклист. Догнав автомобиль, мотоциклист тут же повернул обратно и вернулся в город $A$ в тот момент, когда автомобилист достиг города $B$. Найти отношение скорости автомобиля к скорости мотоцикла, считая, что в течение всего времени движения скорости обоих транспортных средств не изменялись.
6. Найти все значения параметра $a$, при которых сумма квадратов корней уравнения $x^{2}-a x+2 a=0$ равна 5.

Решения задач

1. Решить уравнение $\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-3}=\frac{1}{4 x}$.
   Решение:
   $\frac{1}{x-5} - \frac{1}{x-3} = \frac{1}{4x}$
   Приведем левую часть к общему знаменателю $(x-5)(x-3)$:
   $\frac{(x-3) - (x-5)}{(x-5)(x-3)} = \frac{1}{4x}$
   $\frac{2}{(x-5)(x-3)} = \frac{1}{4x}$
   Перемножаем крест-накрест:
   $8x = (x-5)(x-3)$
   $8x = x^2 -8x +15$
   $x^2 -16x +15 = 0$
   Дискриминант $D = 256 -60 = 196$
   $x = \frac{16 \pm14}{2} \Rightarrow x_1 = 15, x_2 = 1$
   Проверка: корни не обращают знаменатели в ноль.
   Ответ: $1; 15$.
2. Разложить на множители: $x y - z y - x^{2} + 2 x z - z^{2}$.
   Решение:
   $xy - zy -x^2 +2xz -z^2 = y(x - z) - (x^2 -2xz + z^2)$
   Заметим, что $x^2 -2xz + z^2 = (x - z)^2$:
   $= y(x - z) - (x - z)^2 = (x - z)(y - (x - z))$
   $= (x - z)(y - x + z)$
   Ответ: $(x - z)(y - x + z)$.
3. Построить графики $y=0,5x-1$ и $y=x^2-2x$, найти точки пересечения и интервал, где линейная функция больше квадратной.
   Решение:
   Линейная функция $y=0,5x-1$:
   Точки пересечения с осями: $(0; -1)$, $(2; 0)$.
   Квадратичная функция $y=x^2-2x$:
   Вершина: $(1; -1)$, точки пересечения с осями: $(0; 0)$, $(2; 0)$.
   Точки пересечения графиков:
   $0,5x -1 = x^2 -2x$
   $x^2 -2,5x +1 =0$
   Дискриминант $D = 6,25 -4 = 2,25$
   $x = \frac{2,5 \pm1,5}{2} \Rightarrow x_1=2, x_2=0,5$
   Точки пересечения: $(2; 0)$, $(0,5; -0,75)$.
   Интервал, где $0,5x-1 > x^2-2x$:
   Решаем неравенство $x^2 -2,5x +1 <0$:
   Корни $x=0,5$ и $x=2$. Парабола ветвями вверх, значит решение $(0,5; 2)$.
   Ответ: интервал $(0,5; 2)$ на оси абсцисс.
4. Найти значение выражения $\frac{b^2 -ab}{a^2 +ab}$, если $\frac{a-4}{b-8} = \frac{a-1}{b-2}$.
   Решение:
   Из пропорции:
   $(a-4)(b-2) = (a-1)(b-8)$
   Раскрываем скобки:
   $ab -2a -4b +8 = ab -8a -b +8$
   Упрощаем:
   $6a -3b =0 \Rightarrow 2a = b$
   Подставляем $b=2a$ в выражение:
   $\frac{(2a)^2 -a \cdot2a}{a^2 +a \cdot2a} = \frac{4a^2 -2a^2}{3a^2} = \frac{2a^2}{3a^2} = \frac{2}{3}$
   Ответ: $\frac{2}{3}$.
5. Отношение скорости автомобиля к скорости мотоцикла.
   Решение:
   Пусть скорость автомобиля $v$, мотоцикла $u$, расстояние между городами $S$.
   Время до встречи после старта мотоцикла: $t = \frac{S}{4(u - v)}$.
   Общее время движения мотоцикла: $\frac{S}{4v} + 2t = \frac{S}{v}$.
   Подставляем $t$:
   $\frac{S}{4v} + \frac{S}{2(u - v)} = \frac{S}{v}$
   Делим на $S$ и умножаем на $4v(u - v)$:
   $(u - v) + 2v = 4(u - v)$
   $3v = 5(u - v) \Rightarrow 3v =5u -5v \Rightarrow 8v =5u \Rightarrow \frac{v}{u} = \frac{5}{8}$ (ошибка в расчетах, правильный ответ $\frac{3}{5}$).
   Пересчет:
   Из уравнения $\frac{1}{2(u - v)} = \frac{3}{4v}$:
   $4v =6(u - v) \Rightarrow 10v =6u \Rightarrow \frac{v}{u} = \frac{3}{5}$.
   Ответ: $\frac{3}{5}$.
6. Найти значения параметра $a$, при которых сумма квадратов корней уравнения $x^2 -ax +2a=0$ равна 5.
   Решение:
   Сумма квадратов корней: $(x_1 +x_2)^2 -2x_1x_2 = a^2 -4a$.
   Уравнение: $a^2 -4a =5 \Rightarrow a^2 -4a -5=0$.
   Дискриминант $D =16 +20 =36$, корни $a=5$, $a=-1$.
   Проверка существования корней:
   При $a=5$: $D=25 -40 =-15 <0$ — нет корней.
   При $a=-1$: $D=1 +8=9 >0$ — корни существуют.
   Ответ: $-1$.