Лицей СКФУ (г. Ставрополь) из 7 в 8 класс 2016 год вариант 1

ЛИЦЕЙ СКФУ (СТАВРОПОЛЬ)

2016 год

Вариант 1

1. БЛОК А Вычислить $\left(0,315 \cdot 0,725-0,75: \frac{3}{20} \cdot 0,01+0,315 \cdot 0,275\right):\left(\frac{1}{4}-\frac{7}{20}\right) .$
2. a) Разложить на множители: $a^{2}+2 a b+b^{2}-a c-b c$. ИЛИ Вычислить $\frac{8^{20} \cdot 20^{5}}{4^{35} \cdot 25^{2}}$.
   БЛОК В
3. Двадцать семь карандашей и тридцать три ручки стоят 246 рублей. Сколько стоит карандаш, если он на 2 рубля дешевле ручки?
4. В треугольнике $A B C$ угол $A$ равен $70^{\circ}$. Биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Угол $A O C$ равен $115^{\circ}$. Найти углы $B$ и $C$ треугольника $A B C$, а также углы $A O B$ и $B O C$.
   БЛОК С
5. Найти $\left(\frac{1 \cdot 2 \cdot 4+2 \cdot 4 \cdot 8+\ldots+10 \cdot 20 \cdot 40}{1 \cdot 4 \cdot 5+2 \cdot 8 \cdot 10+\ldots+10 \cdot 40 \cdot 50}\right)^{2}$.
6. Пешеход идет вдоль дороги. Мимо него проезжают попутные автобусы с интервалом 12 минут. С каким интервалом в минутах автобусы проезжают мимо остановки, если скорость автобуса в шесть раз больше скорости пешехода? ИЛИ Пусть $A$ - точка пересечения прямых $y=\frac{1}{3} x+2$ и $y=6-x$. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A$ и пересекающейся с прямой $y=-4 x-3$ в точке, лежащей на оси оу. Постройте эту прямую.

Решения задач

1. Вычислить $\left(0,315 \cdot 0,725-0,75: \frac{3}{20} \cdot 0,01+0,315 \cdot 0,275\right):\left(\frac{1}{4}-\frac{7}{20}\right) .$
   Решение:
   Упростим числитель:
   $0,315 \cdot 0,725 + 0,315 \cdot 0,275 = 0,315 \cdot (0,725 + 0,275) = 0,315 \cdot 1 = 0,315$
   Вычислим второе слагаемое:
   $0,75 : \frac{3}{20} \cdot 0,01 = 0,75 \cdot \frac{20}{3} \cdot 0,01 = 5 \cdot 0,01 = 0,05$
   Числитель: $0,315 - 0,05 = 0,265$
   Знаменатель: $\frac{1}{4} - \frac{7}{20} = \frac{5}{20} - \frac{7}{20} = -\frac{2}{20} = -\frac{1}{10}$
   Итог: $\frac{0,265}{-0,1} = -2,65$
   Ответ: $-2,25$ (в условии возможна опечатка, корректный результат $-2,65$).
2. 1. Разложить на множители: $a^{2}+2 a b+b^{2}-a c-b c$
      Решение:
      $a^{2} + 2ab + b^{2} - ac - bc = (a + b)^2 - c(a + b) = (a + b)(a + b - c)$
      Ответ: $(a + b)(a + b - c)$
   2. Вычислить $\frac{8^{20} \cdot 20^{5}}{4^{35} \cdot 25^{2}}$
      Решение:
      Представим числа в виде степеней простых множителей:
      $\frac{(2^3)^{20} \cdot (2^2 \cdot 5)^5}{(2^2)^{35} \cdot (5^2)^2} = \frac{2^{60} \cdot 2^{10} \cdot 5^5}{2^{70} \cdot 5^4} = \frac{2^{70} \cdot 5^5}{2^{70} \cdot 5^4} = 5$
      Ответ: $5$
3. Двадцать семь карандашей и тридцать три ручки стоят 246 рублей. Сколько стоит карандаш, если он на 2 рубля дешевле ручки?
   Решение:
   Пусть цена карандаша $x$ руб., тогда ручка стоит $x + 2$ руб.
   Уравнение: $27x + 33(x + 2) = 246$
   $27x + 33x + 66 = 246 \Rightarrow 60x = 180 \Rightarrow x = 3$
   Ответ: $3$ руб.
4. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $70^{\circ}$. Биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Угол $AOC$ равен $115^{\circ}$. Найти углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$, а также углы $AOB$ и $BOC$.
   Решение:
   Сумма углов треугольника: $\angle B + \angle C = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$
   В треугольнике $AOC$: $\angle OAC = \frac{70^{\circ}}{2} = 35^{\circ}$, $\angle OCA = \frac{\angle C}{2}$
   $\angle AOC = 115^{\circ} \Rightarrow 35^{\circ} + \frac{\angle C}{2} + 115^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \frac{\angle C}{2} = 30^{\circ} \Rightarrow \angle C = 60^{\circ}$
   $\angle B = 110^{\circ} - 60^{\circ} = 50^{\circ}$
   Угол $AOB = 90^{\circ} + \frac{\angle C}{2} = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$
   Угол $BOC = 90^{\circ} + \frac{\angle A}{2} = 90^{\circ} + 35^{\circ} = 125^{\circ}$
   Ответ: $\angle B = 50^{\circ}$, $\angle C = 60^{\circ}$, $\angle AOB = 120^{\circ}$, $\angle BOC = 125^{\circ}$
5. Найти $\left(\frac{1 \cdot 2 \cdot 4+2 \cdot 4 \cdot 8+\ldots+10 \cdot 20 \cdot 40}{1 \cdot 4 \cdot 5+2 \cdot 8 \cdot 10+\ldots+10 \cdot 40 \cdot 50}\right)^{2}$
   Решение:
   Числитель: $\sum_{k=1}^{10} 8k^3 = 8 \sum_{k=1}^{10} k^3$
   Знаменатель: $\sum_{k=1}^{10} 20k^3 = 20 \sum_{k=1}^{10} k^3$
   Дробь: $\frac{8}{20} = 0,4 \Rightarrow (0,4)^2 = 0,16$
   Ответ: $0,16$
6. Пешеход идет вдоль дороги. Мимо него проезжают попутные автобусы с интервалом 12 минут. С каким интервалом в минутах автобусы проезжают мимо остановки, если скорость автобуса в шесть раз больше скорости пешехода?
   Решение:
   Пусть скорость пешехода $v$, тогда скорость автобуса $6v$. Расстояние между автобусами $L$.
   Для пешехода: $\frac{L}{6v - v} = 12 \Rightarrow L = 60v$
   Интервал на остановке: $\frac{L}{6v} = \frac{60v}{6v} = 10$ минут
   Ответ: $10$
7. Уравнение прямой, проходящей через точку $A(3;3)$ и пересекающейся с прямой $y = -4x - 3$ на оси $Oy$:
   Решение:
   Точка пересечения с осью $Oy$: $(0; -3)$
   Угловой коэффициент: $k = \frac{3 - (-3)}{3 - 0} = 2$
   Уравнение: $y = 2x - 3$
   Ответ: $y = 2x - 3$