8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей №1580 из 7 в 8 класс 2021 год вариант 1 — 120 минут

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2021
СкачатьПечать
youit.school ©

ШКОЛА 1580 ПРИ МГТУ ИМ. БАУМАНА


2021 год


Вариант 1 - 120 минут



  1. Решите уравнения:
    1. $ \frac{x+1}{4}-2 x=\frac{5-3 x}{2}-\left(x+\frac{x-3}{8}\right) $
    2. $ \left(4 x^{2}-2 x+1\right)(2 x+1)+x(4 x+3)(1-2 x)=11-2 x^{2} . $
  2. Разложите на неразложимые множители:
    1. $b^{3}+8 b^{2}-25 b-200$
    2. $16+9 y^{2}-25 x^{2}-24 y$
    3. $125 x y^{3}-8 x+30 y(2 x-5 x y)$
    1. Даны точки $A(4 ; 3)$ и $B(-3 ;-11)$. Напишите уравнение прямой $A B$.
    2. Напишите уравнение прямой $l$, параллельной прямой $-3 x+2 y=7$ и пересекающейся с прямо $A B$ на оси $O y$.
      Постройте полученные прямые.
  4. Решите задачу:
    Двое рабочих должны были сделать по 50 одинаковых деталей. Второй начал работать на 1 час позже первого. Через 2,5 часа после этого оказалось, что второй сделал на 4 детали больше, тем первый. А ещё через 1 час 30 минут второму осталось сделать в 2 раза меньше дегалей, чем первому. Сколько деталей в час делает каждый рабочий?
  5. Докахите, что:
    1. $\frac{\left.\text { (8 }^{5}+16^{3}-5 \cdot 2^{11}\right) \text { делится на } 26 .}{}$
    2. Значение выражения $x^{2}+9 y^{2}-2 x y+2-8 y$ неотрицательно прй любых значениях $x$ и $y$.
  6. Вычислите наиболее удобным способом: $$ \frac{\left(97^{2}-53^{2}\right)\left(150^{2}-97 \cdot 53\right)}{97^{3}-53^{3}}. $$
  7. Постройте график уравнения: $$ |x-2| \cdot y=x^{2}-4 $$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнения:
    1. \[ \frac{x+1}{4}-2x = \frac{5-3x}{2}-\left(x+\frac{x-3}{8}\right) \] Решение: \begin{align} 8\left(\frac{x+1}{4}-2x\right) &=8\left(\frac{5-3x}{2}-\left(x+\frac{x-3}{8}\right)\right) \\ 2(x+1)-16x &= 4(5-3x)-8x-(x-3) \\ 2x+2-16x &=20-12x -8x -x +3 \\ -14x +2 &=23 -21x \\ 7x &=21 \\ x &= 3 \end{align} Ответ: 3.
    2. \[ \left(4x^{2}-2x+1\right)(2x+1)+x(4x+3)(1-2x) =11-2x^{2} \] Решение: \begin{align} (4x^{2}-2x+1)(2x+1) &=8x^{3}+4x^{2}-4x^{2}-2x+2x+1 =8x^{3}+1 \\ x(4x+3)(1-2x) &=x(-8x^{2}-2x+3) =-8x^{3}-2x^{2}+3x \\ Сумма: \,8x^{3}+1-8x^{3}-2x^{2}+3x &= -2x^{2}+3x +1 \\ Уравнение: -2x^{2}+3x +1 &=11-2x^{2} \\ 3x &=10 \\ x &=\frac{10}{3} \end{align} Ответ: $\frac{10}{3}$.
  2. Разложите на множители:
    1. $b^{3}+8b^{2}-25b-200$
      Решение: \begin{align} b^{3}+8b^{2}-25b-200 &=b^{2}(b+8)-25(b+8) \\ &=(b+8)(b^{2}-25) \\ &=(b+8)(b-5)(b+5) \end{align} Ответ: $(b+8)(b-5)(b+5)$.
    2. $16+9y^{2}-25x^{2}-24y$
      Решение: \begin{align} 16+9y^{2}-25x^{2}-24y &=(9y^{2}-24y+16)-25x^{2} \\ &=(3y-4)^{2}-(5x)^{2} \\ &=(3y-4-5x)(3y-4+5x) \end{align} Ответ: $(3y-4-5x)(3y-4+5x)$.
    3. $125xy^{3}-8x+30y(2x-5xy)$
      Решение: \begin{align} 125xy^{3}-8x+30y(2x-5xy) &=x(125y^{3}-8)+60xy-150xy^{2} \\ &=x\left[(5y)^{3}-2^{3}\right]+30xy(2-5y) \\ &=x(5y-2)(25y^{2}+10y+4)-30xy(5y-2) \\ &=(5y-2)x(25y^{2}+10y+4-30y) \\ &=x(5y-2)(25y^{2}-20y+4) \\ &=x(5y-2)(5y-2)^{2} \\ &=x(5y-2)^{3} \end{align} Ответ: $x(5y-2)^{3}$.
  3. Уравнения прямых:
    1. Точки $A(4;3)$ и $B(-3;-11)$:
      Угловой коэффициент $k = \frac{-11-3}{-3-4} = 2$
      Уравнение: $y = 2x -5$
      Ответ: $y = 2x -5$.
    2. Прямая $l$ параллельна $-3x +2y =7 \Rightarrow k=1.5$
      Точка пересечения с осью $Oy$: $(0;-5)$.
      Уравнение: $y = \frac{3}{2}x -5$
      Ответ: $3x - 2y =10$.
  4. Задача о рабочих:
    Пусть первый рабочий делает $x$ деталей/ч, второй — $y$ дет./ч. \begin{align} 2.5y -3.5x &=4 \\ 5x -8y &= -50 \\ Решение системы: \\ x &=6,\quad y =10 \end{align} Ответ: 6 деталей/ч и 10 деталей/ч.
  5. Доказательства:
    1. $\left(8^{5}+16^{3}-5\cdot2^{11}\right) \div 26$
      Решение:
      $8^{5}=2^{15},\quad16^{3}=2^{12},\quad2^{15}+2^{12}-5\cdot2^{11}=2^{11}(13)$
      Ответ: делится на 26.
    2. $x^{2}+9y^{2}-2xy+2-8y \geq0$
      Решение:
      $(x-y)^{2}+8(y-0.5)^{2} \geq0$
      Ответ: доказано.
  6. Вычислить выражение: \[ \frac{(97^{2}-53^{2})(150^{2}-97\cdot53)}{97^{3}-53^{3}} \] Решение:
    Используя формулы сокращения: \begin{align} Чиститель &= (97-53)(97+53)(150^{2}-97\cdot53) \\ Знаменатель &= (97-53)(97^{2}+97\cdot53+53^{2}) \\ Сокращение: &\frac{(97+53)(150^{2}-97\cdot53)}{97^{2}+97\cdot53+53^{2}} \\ Ответ: 150 \end{align} Ответ: 150.
  7. График уравнения $|x-2|\cdot y =x^{2}-4$
    Решение: \[ y = \begin{cases} x+2 & x>2 \\ -x-2 &x<2 \end{cases} \] Ответ: две прямые с исключённой точкой $(2;4)$.
Материалы школы Юайти