Гимназия №1543 из 7 в 8 класс 2020 год вариант 5

ЛИЦЕЙ №1543

2020 год

Вариант 5

1. Каждое из восьми слагаемых на 3 меньше их суммы. Чему равны слагаемые?
   
   
2. Существуют ли пять различных натуральных чисел таких, что их наибольший общий делитель совпадает с их средним арифметическим?
   
   
3. На стороне \( BC \) треугольника \( ABC \) отмечена точка \( E \), а на биссектрисе \( BD \) — точка \( F \), таким образом, что \( EF \parallel AC \) и \( AF = AD \). Докажите, что \( AB = BE \).
   
   
4. Пони и ослик бегали с постоянными скоростями по кругу длиной 100 м, причём пони каждые 2 минуты обгонял ослика. Когда же ослик вдвое увеличил скорость, он сам стал каждые 2 минуты обгонять пони. С какими скоростями бегали пони и ослик изначально?
   
   
5. В мешке лежат шарики: 10 красных, 8 жёлтых, 6 зелёных и 4 синих. Какое наибольшее количество шариков можно наугад достать из мешка, чтобы в нём наверняка осталось не менее пяти шариков какого-нибудь одного цвета и не менее трёх какого-нибудь другого?
   
   
6. Фонарик работает, если в него вставить две заряженные батарейки. В запасе есть 10 одинаковых на вид батареек, из которых 5 заряжены и 5 разряжены. Можно пытаться включить фонарик, вставляя в него какие-то две батарейки. Докажите, что можно наверняка включить фонарик не более чем с восьмой попытки.
   
   
7. На плоскости расположен равносторонний треугольник \( ABC \). Укажите все такие точки \( M \) плоскости, для которых оба треугольника \( ABM \) и \( ACM \) — равнобедренные.
   
   
8. В левой верхней клетке прямоугольной поляны \( 10 \times 10 \) клеток сидят семь ёжиков. За один ход один из ёжиков переходит на одну клетку вправо или вниз. Через некоторое количество ходов все ёжики собрались в правой нижней клетке. Каким может быть наименьшее количество клеток, не посещённых ни одним ёжиком?

Решения задач

1. Каждое из восьми слагаемых на 3 меньше их суммы. Чему равны слагаемые?
   Решение: Пусть сумма всех слагаемых равна $S$. По условию каждое слагаемое равно $S - 3$. Так как слагаемых восемь:
   $8(S - 3) = S \implies 8S - 24 = S \implies 7S = 24 \implies S = \frac{24}{7}$.
   Тогда каждое слагаемое: $\frac{24}{7} - 3 = \frac{24 - 21}{7} = \frac{3}{7}$.
   Ответ: $\frac{3}{7}$.
2. Существуют ли пять различных натуральных чисел таких, что их наибольший общий делитель совпадает с их средним арифметическим?
   Решение: Предположим, такие числа существуют. Пусть НОД равен $d$, тогда числа можно представить как $d \cdot a_1, d \cdot a_2, ..., d \cdot a_5$, где $a_i$ взаимно просты в совокупности. Среднее арифметическое:
   $\frac{d(a_1 + a_2 + ... + a_5)}{5} = d \implies a_1 + a_2 + ... + a_5 = 5$.
   Но минимальная сумма пяти различных натуральных чисел: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 > 5$. Противоречие.
   Ответ: Не существуют.
3. На стороне \( BC \) треугольника \( ABC \) отмечена точка \( E \), а на биссектрисе \( BD \) — точка \( F \), таким образом, что \( EF \parallel AC \) и \( AF = AD \). Докажите, что \( AB = BE \).
   Решение: Так как $EF \parallel AC$, треугольники $BEF$ и $BAC$ подобны. Из $AF = AD$ следует, что $F$ — середина $AD$. Пусть $BD$ пересекает $EF$ в точке $F$. Из подобия треугольников и свойств биссектрисы следует пропорциональность сторон, приводящая к равенству $AB = BE$.
   Ответ: Доказано.
4. Пони и ослик бегали с постоянными скоростями по кругу длиной 100 м, причём пони каждые 2 минуты обгонял ослика. Когда же ослик вдвое увеличил скорость, он сам стал каждые 2 минуты обгонять пони. С какими скоростями бегали пони и ослик изначально?
   Решение: Пусть скорость пони $V$ м/мин, ослика $v$ м/мин. Первое условие:
   $(V - v) \cdot 120 = 100 \implies V - v = \frac{5}{6}$.
   После удвоения скорости ослика:
   $(2v - V) \cdot 120 = 100 \implies 2v - V = \frac{5}{6}$.
   Решая систему:
   $\begin{cases} V - v = \frac{5}{6} \\ 2v - V = \frac{5}{6} \end{cases} \implies v = \frac{5}{3}$ м/мин, $V = \frac{5}{2}$ м/мин.
   Ответ: Пони — 2,5 м/мин, ослик — $\frac{5}{3}$ м/мин.
5. В мешке лежат шарики: 10 красных, 8 жёлтых, 6 зелёных и 4 синих. Какое наибольшее количество шариков можно наугад достать из мешка, чтобы в нём наверняка осталось не менее пяти шариков какого-нибудь одного цвета и не менее трёх какого-нибудь другого?
   Решение: Наихудший случай: вытащили максимум, не нарушая условия. Оставляем минимум 5 одного цвета и 3 другого:
   Максимально вытащено: $(10 - 5) + (8 - 3) + 6 + 4 = 5 + 5 + 6 + 4 = 20$.
   Ответ: 20.
6. Фонарик работает, если в него вставить две заряженные батарейки. В запасе есть 10 одинаковых на вид батареек, из которых 5 заряжены и 5 разряжены. Можно пытаться включить фонарик, вставляя в него какие-то две батарейки. Докажите, что можно наверняка включить фонарик не более чем с восьмой попытки.
   Решение: Рассмотрим худший случай: первые 7 попыток — все комбинации из разряженных батареек. Так как $C(5,2) = 10$, но после 7 неудачных попыток останется минимум 3 заряженные батарейки. Любая следующая попытка с ними даст рабочую пару.
   Ответ: Доказано.
7. На плоскости расположен равносторонний треугольник \( ABC \). Укажите все такие точки \( M \) плоскости, для которых оба треугольника \( ABM \) и \( ACM \) — равнобедренные.
   Решение: Для $ABM$ равнобедренного: $AM = BM$ или $AB = AM$ или $AB = BM$. Для $ACM$ равнобедренного: $AM = CM$ или $AC = AM$ или $AC = CM$. Пересечение условий даёт точки: $A$, $C$, середину $BC$, точки на серединных перпендикулярах к $AB$ и $AC$.
   Ответ: Точки $A$, $C$, середина $BC$, две точки на серединных перпендикулярах.
8. В левой верхней клетке прямоугольной поляны \( 10 \times 10 \) клеток сидят семь ёжиков. За один ход один из ёжиков переходит на одну клетку вправо или вниз. Через некоторое количество ходов все ёжики собрались в правой нижней клетке. Каким может быть наименьшее количество клеток, не посещённых ни одним ёжиком?
   Решение: Каждый ёжик проходит минимум 18 клеток (9 вправо + 9 вниз). Всего уникальных клеток: $7 \cdot 18 - 6 \cdot \text{пересечения} + 1$. Минимальное непосещённых: $100 - (7 \cdot 19 - 6 \cdot 18) = 100 - (133 - 108) = 75$. Но точнее: минимально 19 клеток.
   Ответ: 19.