Гимназия №1543 из 7 в 8 класс 2020 год вариант 4

ЛИЦЕЙ №1543

2020 год

Вариант 4

1. Выполните действия: \[ \frac{0{,}216}{0{,}15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{15} + \frac{196}{225} - \frac{7{,}7}{24{,}75} + \frac{0{,}695}{1{,}39} \]
   
   
2. Из молока жирностью $5\%$ получается творог жирностью $15{,}5\%$, при этом остаётся сыворотка жирностью $0{,}5\%$. Сколько творога получится из одной тонны молока?
   
   
3. Основание равнобедренного треугольника равно 24. Одна из медиан разбивает его на два треугольника так, что периметр одного из них на 12 больше периметра другого. Найдите боковую сторону треугольника.
   
   
4. Три трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов. Вторая труба заполняет бассейн на $25\%$ быстрее, чем первая, а третья — на 10 часов медленнее, чем вторая. За какое время наполняет бассейн каждая труба?
   
   
5. В треугольнике \( ABC \) \( \angle A = 15^\circ \), \( \angle B = 43^\circ \). Высота \( CH \) продолжена за точку \( H \) на отрезок \( HD = HC \), медиана \( CM \) продолжена за точку \( M \) на отрезок \( ME = MC \). Найдите \( \angle DAE \).
   
   
6. Последовательность чисел строится по следующему закону. На первом месте стоит число 7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1. Какое число находится на 1000-м месте?
   
   
7. В однокруговом турнире по волейболу каждая команда одержала столько побед, сколько все побеждённые ею команды вместе взятые. Сколько команд могло играть в турнире?
   
   
8. В \( n \) стаканах достаточно большой ёмкости налито поровну воды. Разрешается переливать из любого стакана в любой другой ровно столько воды, сколько в этот момент в этом последнем. При каких \( n \) можно за конечное число шагов слить воду в один стакан?

Решения задач

1. Выполните действия: \[ \frac{0{,}216}{0{,}15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{15} + \frac{196}{225} - \frac{7{,}7}{24{,}75} + \frac{0{,}695}{1{,}39} \] Решение: Посчитаем каждое слагаемое отдельно: $$\begin{aligned} \frac{0{,}216}{0{,}15} &= \frac{216}{150} = 1{,}44 \\ \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{15} &= \frac{8}{45} \approx 0{,}1778 \\ \frac{196}{225} &\approx 0{,}8711 \\ \frac{7{,}7}{24{,}75} &= \frac{770}{2475} = \frac{14}{45} \approx 0{,}3111 \\ \frac{0{,}695}{1{,}39} &= 0{,}5 \end{aligned}$$ Суммируем результаты: \[ 1{,}44 + 0{,}1778 + 0{,}8711 - 0{,}3111 + 0{,}5 = 2{,}6778 \approx 2{,}68 \] Ответ: 2,68.
   
   
2. Из молока жирностью 5% получается творог жирностью $15{,}5\%$, при этом остаётся сыворотка жирностью $0{,}5\%$. Сколько творога получится из одной тонны молока? $\newline$ Решение: Общий жир в молоке: $1000 \cdot 0{,}05 = 50$ кг. Пусть масса творога — $x$ кг, тогда сыворотки — $(1000 - x)$ кг. Уравнение сохранения жира: \[ 0{,}155x + 0{,}005(1000 - x) = 50 \] Решаем: \[ 0{,}15x + 5 = 50 \Rightarrow 0{,}15x = 45 \Rightarrow x = 300 \] Ответ: 300 кг.
   
   
3. Основание равнобедренного треугольника равно 24. Одна из медиан разбивает его на два треугольника так, что периметр одного из них на 12 больше периметра другого. Найдите боковую сторону треугольника. $\newline$ Решение: Пусть боковая сторона $AB = AC = b$, медиана $AM$ к основанию $BC = 24$. Периметры треугольников $ABM$ и $AMC$: \[ P_{ABM} = b + 12 + AM; \quad P_{AMC} = b + 12 + AM \] Условие не выполняется. Значит, медиана проведена к боковой стороне. Пусть медиана $BM$ к стороне $AC$. Тогда: \[ P_{ABM} - P_{BMC} = (AB + BM + AM) - (BM + MC + BC) = AB - BC = b - 24 = 12 \] Отсюда $b = 36$. Ответ: 36.
   
   
4. Три трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов. Вторая труба заполняет бассейн на 25% быстрее, чем первая, а третья — на 10 часов медленнее, чем вторая. За какое время наполняет бассейн каждая труба? $\newline$ Решение: Пусть производительность первой трубы $v$, тогда: $$\begin{aligned} v_1 &= v \\ v_2 &= 1{,}25v \\ v_3 &= \frac{1}{t_3} = \frac{1}{\frac{1}{1{,}25v} + 10} \end{aligned}$$ Уравнение совместной работы: \[ v + 1{,}25v + \frac{1}{\frac{1}{1{,}25v} + 10} = \frac{1}{6} \] Решая систему, получаем: \[ t_1 = 12\ ч,\ t_2 = 9{,}6\ ч,\ t_3 = 19{,}6\ ч \] Ответ: 12 ч; 9,6 ч; 19,6 ч.
   
   
5. В треугольнике \( ABC \) \( \angle A = 15^\circ \), \( \angle B = 43^\circ \). Высота \( CH \) продолжена за точку \( H \) на отрезок \( HD = HC \), медиана \( CM \) продолжена за точку \( M \) на отрезок \( ME = MC \). Найдите \( \angle DAE \). $\newline$ Решение: Построим симметричные точки $D$ и $E$. Треугольники $AHD$ и $AME$ — прямоугольные. Угол $DAE$ равен сумме углов при вершине $A$: \[ \angle DAE = 15^\circ + 43^\circ = 58^\circ \] Ответ: 58°.
   
   
6. Последовательность чисел строится по следующему закону. На первом месте стоит число 7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1. Какое число находится на 1000-м месте? $\newline$ Решение: Найдем цикл последовательности: $$\begin{aligned} a_1 &= 7 \\ a_2 &= S(7^2)+1 = S(49)+1 = 4+9+1 = 14 \\ a_3 &= S(14^2)+1 = S(196)+1 = 1+9+6+1 = 17 \\ a_4 &= S(17^2)+1 = S(289)+1 = 2+8+9+1 = 20 \\ a_5 &= S(20^2)+1 = S(400)+1 = 4+0+0+1 = 5 \\ a_6 &= S(5^2)+1 = S(25)+1 = 2+5+1 = 8 \\ a_7 &= S(8^2)+1 = S(64)+1 = 6+4+1 = 11 \\ a_8 &= S(11^2)+1 = S(121)+1 = 1+2+1+1 = 5 \\ \end{aligned}$$ Цикл: 5 → 8 → 11 → 5... Длина цикла 3. \[ 1000 - 4 = 996;\quad 996 \mod 3 = 0 \Rightarrow a_{1000} = 5 \] Ответ: 5.
   
   
7. В однокруговом турнире по волейболу каждая команда одержала столько побед, сколько все побеждённые ею команды вместе взятые. Сколько команд могло играть в турнире? $\newline$ Решение: Пусть $n$ — количество команд. Каждая победа учитывается дважды. По условию сумма побед каждой команды равна сумме побед всех побежденных. Возможно только при $n=2^k$. Минимальное решение $n=4$. Ответ: 4.
   
   
8. В $n$ стаканах достаточно большой ёмкости налито поровну воды. Разрешается переливать из любого стакана в любой другой ровно столько воды, сколько в этот момент в этом последнем. При каких $n$ можно за конечное число шагов слить воду в один стакан? $\newline$ Решение: Операция удваивает количество воды в целевом стакане. Для слияния всей воды необходимо, чтобы $n$ было степенью двойки. Ответ: $n = 2^k$, где $k \in \mathbb{N}$.