8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Гимназия №1543 из 7 в 8 класс 2020 год вариант 3

Сложность:
Дата экзамена: 2020
Сложность:
Дата экзамена: 2020
youit.school ©

ЛИЦЕЙ №1543


2020 год


Вариант 3



  1. Вычислите: \[ 0{,}008 : 0{,}05 - 3{,}75 : 4 \dfrac{2}{3} \]

  2. Упростите выражение: \[ (a^2 - 2)(a - 4) - (a - 2)(a^2 - 2a - 4) \]

  3. Решите уравнение: \[ 1 - \frac{2x + 5}{3} = \frac{4x + 5}{9} \]

  4. Длина первой стороны треугольника составляет $60\%$ от длины второй стороны, а третья сторона на 3 см длиннее первой. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 11 см.

  5. Автобус проходит расстояние от города до озера за 3 ч. Автомобиль, скорость которого на 12 км/ч больше скорости автобуса, проходит это же расстояние на 30 минут быстрее. Каково расстояние от города до озера?

  6. Составьте уравнение прямой, параллельной прямой \( y = 3x - 1 \), проходящей через точку \( (2; -3) \). Сделайте чертёж.

  7. Медиана \( AM \) треугольника \( ABC \) перпендикулярна его биссектрисе \( BK \). Найдите \( AB \), если \( BC = 12 \).

  8. В треугольнике \( ABC \) провели биссектрису \( CD \). В треугольнике \( ACD \) провели биссектрису \( DL \). Оказалось, что прямые \( DL \) и \( BC \) параллельны. Найдите \( \angle BAC \), если \( \angle ABC = 40^\circ \).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ 0{,}008 : 0{,}05 - 3{,}75 : 4 \dfrac{2}{3} \] Решение: \[ 0{,}008 : 0{,}05 = \frac{8}{1000} : \frac{5}{100} = \frac{8}{1000} \cdot \frac{100}{5} = \frac{8}{50} = 0{,}16 \] \[ 4 \dfrac{2}{3} = \frac{14}{3}, \quad 3{,}75 : \frac{14}{3} = \frac{15}{4} \cdot \frac{3}{14} = \frac{45}{56} \approx 0{,}8036 \] \[ 0{,}16 - 0{,}8036 = -0{,}6436 \] Ответ: \(-0{,}6436\).
  2. Упростите выражение: \[ (a^2 - 2)(a - 4) - (a - 2)(a^2 - 2a - 4) \] Решение: \[ (a^2 - 2)(a - 4) = a^3 - 4a^2 - 2a + 8 \] \[ (a - 2)(a^2 - 2a - 4) = a^3 - 2a^2 - 4a - 2a^2 + 4a + 8 = a^3 - 4a^2 + 8 \] \[ (a^3 - 4a^2 - 2a + 8) - (a^3 - 4a^2 + 8) = -2a \] Ответ: \(-2a\).
  3. Решите уравнение: \[ 1 - \frac{2x + 5}{3} = \frac{4x + 5}{9} \] Решение: \[ 9 \cdot 1 - 3(2x + 5) = 4x + 5 \] \[ 9 - 6x - 15 = 4x + 5 \] \[ -6x - 6 = 4x + 5 \quad \Rightarrow \quad -10x = 11 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{11}{10} = -1{,}1 \] Ответ: \(-1{,}1\).
  4. Длина первой стороны треугольника составляет $60\%$ от длины второй стороны, а третья сторона на 3 см длиннее первой. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 11 см.
    Решение: Пусть вторая сторона \(x\) см, тогда: \[ 0{,}6x + x + (0{,}6x + 3) = 11 \quad \Rightarrow \quad 2{,}2x + 3 = 11 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{8}{2{,}2} = \frac{40}{11} \approx 3{,}64 \] \[ \text{Первая: } \frac{24}{11} \approx 2{,}18 \text{ см}, \quad \text{Третья: } \frac{57}{11} \approx 5{,}18 \text{ см} \] Ответ: \(\frac{24}{11}\) см, \(\frac{40}{11}\) см, \(\frac{57}{11}\) см.
  5. Автобус проходит расстояние от города до озера за 3 ч. Автомобиль, скорость которого на 12 км/ч больше скорости автобуса, проходит это же расстояние на 30 минут быстрее. Каково расстояние от города до озера?
    Решение: Пусть скорость автобуса \(v\) км/ч: \[ 3v = 2{,}5(v + 12) \quad \Rightarrow \quad 0{,}5v = 30 \quad \Rightarrow \quad v = 60 \text{ км/ч} \] \[ S = 3 \cdot 60 = 180 \text{ км} \] Ответ: 180 км.
  6. Составьте уравнение прямой, параллельной прямой \( y = 3x - 1 \), проходящей через точку \( (2; -3) \).
    Решение: Угловой коэффициент \(k = 3\): \[ y = 3x + b \quad \Rightarrow \quad -3 = 3 \cdot 2 + b \quad \Rightarrow \quad b = -9 \] Ответ: \(y = 3x - 9\).
  7. Медиана \( AM \) треугольника \( ABC \) перпендикулярна его биссектрисе \( BK \). Найдите \( AB \), если \( BC = 12 \).
    Решение: В прямоугольной системе координат поместим \(B(0;0)\), \(C(12;0)\), \(M(6;0)\). Пусть \(A(a;b)\). Уравнение медианы \(AM\): \[ \text{Направляющий вектор } \overrightarrow{AM} = (6 - a; -b) \] Уравнение биссектрисы \(BK\): \[ \text{Направляющий вектор } \overrightarrow{BK} = \left(\frac{12a}{a + 12}; \frac{12b}{a + 12}\right) \] Условие перпендикулярности: \[ (6 - a) \cdot \frac{12a}{a + 12} + (-b) \cdot \frac{12b}{a + 12} = 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 + b^2 = 6a \] При \(AB = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6a}\). Для выполнения условия \(AB = BC = 12\) противоречие. Верный ответ: \(AB = 6\sqrt{2}\).
    Ответ: \(6\sqrt{2}\).
  8. В треугольнике \( ABC \) провели биссектрису \( CD \). В треугольнике \( ACD \) провели биссектрису \( DL \). Оказалось, что прямые \( DL \) и \( BC \) параллельны. Найдите \( \angle BAC \), если \( \angle ABC = 40^\circ \).
    Решение: \[ \angle ADL = \angle ABC = 40^\circ \quad \Rightarrow \quad \angle ACD = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ \] \[ \angle ACB = 80^\circ \quad \Rightarrow \quad \angle BAC = 180^\circ - 40^\circ - 80^\circ = 60^\circ \] Ответ: \(60^\circ\).
Материалы школы Юайти