Гимназия №1543 из 7 в 8 класс 2020 год вариант 2
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ №1543
2020 год
Вариант 2
- Вычислите:
\[
(7^3 - 3^5)(27 - 5^3)
\]
- Решите уравнение:
\[
((0{,}001x + 2) : 0{,}3) \cdot 0{,}01 - 11{,}2 = 22{,}2
\]
- Разложите на множители:
\[
4a^2 + 27bc - 18ab - 9c^2
\]
- В треугольнике \( ABC \) на стороне \( AB \) взята точка \( D \), а на стороне \( AC \) — точка \( E \).
При этом \( DE \parallel BC \) и \( DE = EC \). Найдите \( \angle ABC \), если \( \angle BAC = 55^\circ \) и \( \angle BCD = 25^\circ \).
- Пешеход, идущий из дома к железнодорожной станции, пройдя за первый час 3 км, рассчитал,
что, двигаясь с такой скоростью, он опоздает к поезду на полчаса.
Поэтому остальной путь он прошёл со скоростью 5 км/ч и пришёл за 30 минут до отхода поезда.
Каково расстояние от дома до станции?
- От прямоугольника одним прямолинейным разрезом отрезали квадрат.
От этого его периметр уменьшился на $20\%$. А на сколько процентов уменьшилась его площадь?
- Десять друзей послали друг другу СМС: каждый послал по одному СМС ровно пяти друзьям.
Можно ли утверждать наверняка, что какие-то двое послали СМС друг другу?
- Какие двузначные числа увеличатся в $8{,}5$ раза, если между их цифрами вписать 0?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите: \[ (7^3 - 3^5)(27 - 5^3) \] Решение: \[ 7^3 = 343,\quad 3^5 = 243,\quad 27 = 3^3,\quad 5^3 = 125 \] \[ (343 - 243)(27 - 125) = 100 \cdot (-98) = -9800 \] Ответ: \(-9800\).
- Решите уравнение: \[ ((0{,}001x + 2) : 0{,}3) \cdot 0{,}01 - 11{,}2 = 22{,}2 \] Решение: \[ ((0{,}001x + 2) : 0{,}3) \cdot 0{,}01 = 33{,}4 \] \[ (0{,}001x + 2) : 0{,}3 = 3340 \] \[ 0{,}001x + 2 = 1002 \] \[ 0{,}001x = 1000 \quad \Rightarrow \quad x = 1\,000\,000 \] Ответ: \(1\,000\,000\).
- Разложите на множители: \[ 4a^2 + 27bc - 18ab - 9c^2 \] Решение: Группируем слагаемые: \[ (4a^2 - 18ab) + (27bc - 9c^2) = 2a(2a - 9b) + 9c(3b - c) \] Выносим общий множитель \((2a - 3c)\): \[ (2a - 3c)(2a + 3c - 9b) \] Ответ: \((2a - 3c)(2a + 3c - 9b)\).
- В треугольнике \( ABC \) на стороне \( AB \) взята точка \( D \), а на стороне \( AC \) — точка \( E \).
При этом \( DE \parallel BC \) и \( DE = EC \( \angle ABC \( \angle ABC \), если \( \angle BAC = 55^\circ \) и \( \angle BCD = 25^\circ \).
Решение: Так как \( DE \parallel BC \), треугольники \( ADE \) и \( ABC \) подобны. Из условия \( DE = EC \) следует, что треугольник \( DEC \) равнобедренный, поэтому \(\angle EDC = \angle ECD = 25^\circ\). Угол \( ACB = 25^\circ \). Сумма углов треугольника \( ABC \): \[ \angle ABC = 180^\circ - 55^\circ - 25^\circ = 100^\circ \] Ответ: \(100^\circ\). - Пешеход, идущий из дома к железнодорожной станции, пройдя за первый час 3 км, рассчитал,
что, двигаясь с такой скоростью, он опоздает к поезду на полчаса.
Поэтому остальной путь он прошёл со скоростью 5 км/ч и пришёл за 30 минут до отхода поезда.
Каково расстояние от дома до станции?
Решение: Пусть \( S \) — расстояние до станции. Время при скорости 3 км/ч: \[ \frac{S}{3} = t + 0{,}5 \] Фактическое время: \[ 1 + \frac{S - 3}{5} = t - 0{,}5 \] Решая систему уравнений: \[ \frac{S}{3} - 0{,}5 = 1{,}5 + \frac{S - 3}{5} \] \[ 5S - 7{,}5 = 22{,}5 + 3S - 9 \quad \Rightarrow \quad S = 10{,}5 \] Ответ: \(10{,}5\) км. - От прямоугольника одним прямолинейным разрезом отрезали квадрат.
От этого его периметр уменьшился на $20\%$. А на сколько процентов уменьшилась его площадь?
Решение: Пусть исходный периметр \( P = 2(a + b) \). После разреза периметр стал \( 0{,}8P \). Предположим, отрезали квадрат со стороной \( x \), тогда: \[ 2(a + b - x) = 0{,}8 \cdot 2(a + b) \quad \Rightarrow \quad x = 0{,}2(a + b) \] Площадь уменьшилась на: \[ \frac{xb}{ab} \cdot 100% = 0{,}2 \cdot \frac{a + b}{a} \cdot 100\% \] Для квадрата (\( a = b \)): \[ 0{,}2 \cdot 2 \cdot 100% = 40\% \] Ответ: на \(40\%\). - Десять друзей послали друг другу СМС: каждый послал по одному СМС ровно пяти друзьям.
Можно ли утверждать наверняка, что какие-то двое послали СМС друг другу?
Решение: Рассмотрим граф, где вершины — друзья, рёбра — СМС. Если разбить друзей на две группы по 5 человек и направить все СМС между группами, взаимных сообщений не будет. Таким образом, утверждать наверняка нельзя. Ответ: Нет. - Какие двузначные числа увеличатся в $8{,}5$ раза, если между их цифрами вписать 0?
Решение: Пусть число \(10X + Y\). После вставки 0: \(100X + Y\). Условие: \[ 100X + Y = 8{,}5(10X + Y) \quad \Rightarrow \quad 2X = Y \] Возможные числа: \(12, 24, 36, 48\). Ответ: \(12, 24, 36, 48\).
Материалы школы Юайти