Гимназия №1543 из 7 в 8 класс 2020 год вариант 1
Печать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ №1543
2020 год
Вариант 1
- Вычислите:
\[
12{,}6 - 2{,}6 : \left(2 \dfrac{1}{3} - 1{,}25\right)
\]
- Решите уравнение:
\[
\frac{7x - 2}{3} + 1 = \frac{5x + 1}{2}
\]
- Теплоход идёт от Самары до Ульяновска 11 часов, а от Ульяновска до Самары — 9 часов.
Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения Волги 2 км/ч.
- Докажите, что число \( 2^{13} + 2^{14} + 2^{15} \) без остатка делится на 7.
- В сплаве 10 г золота и серебра содержание золота — $40\%$.
Сколько чистого золота нужно добавить, чтобы содержание серебра стало равным $40\%$?
- На стороне \( AB \) треугольника \( ABC \) отмечена точка \( D \) так, что \( \angle BCD = \angle CAB \).
Докажите, что биссектрисы углов \( \angle ACD \) и \( \angle ABC \) перпендикулярны друг другу.
- Отметьте на координатной плоскости все точки \( (x, y) \), для которых выполняется уравнение:
\[
xy - 2y - 2x + y^2 = 0
\]
- Известно, что в течение суток в каждый момент в интернет-кафе были посетители. Каждый посетитель был в кафе один раз и находился там меньше часа. Докажите, что можно выбрать 12 посетителей, которые в кафе не встречались.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите:
\[
12{,}6 - 2{,}6 : \left(2 \dfrac{1}{3} - 1{,}25\right)
\]
Решение:
\[
2\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3} \approx 2{,}3333; \quad 2\dfrac{1}{3} - 1{,}25 = 2{,}3333 - 1{,}25 = 1{,}0833
\]
\[
2{,}6 : 1{,}0833 \approx 2{,}4; \quad 12{,}6 - 2{,}4 = 10{,}2
\]
Точное решение через дроби:
\[
2\dfrac{1}{3} - 1{,}25 = \dfrac{7}{3} - \dfrac{5}{4} = \dfrac{28 - 15}{12} = \dfrac{13}{12}
\]
\[
2{,}6 : \dfrac{13}{12} = \dfrac{26}{10} \cdot \dfrac{12}{13} = \dfrac{24}{10} = 2{,}4
\]
\[
12{,}6 - 2{,}4 = 10{,}2
\]
Ответ: 10,2.
- Решите уравнение:
\[
\frac{7x - 2}{3} + 1 = \frac{5x + 1}{2}
\]
Решение:
\[
6 \cdot \left(\frac{7x - 2}{3} + 1\right) = 6 \cdot \frac{5x + 1}{2}
\]
\[
2(7x - 2) + 6 = 3(5x + 1)
\]
\[
14x - 4 + 6 = 15x + 3
\]
\[
14x + 2 = 15x + 3 \quad \Rightarrow \quad -x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = -1
\]
Ответ: -1.
- Теплоход идёт от Самары до Ульяновска 11 часов, а от Ульяновска до Самары — 9 часов.
Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения Волги 2 км/ч.
Решение: Пусть собственная скорость теплохода \( v \) км/ч. Тогда: \[ 11(v - 2) = 9(v + 2) \] \[ 11v - 22 = 9v + 18 \quad \Rightarrow \quad 2v = 40 \quad \Rightarrow \quad v = 20 \] Ответ: 20 км/ч.
- Докажите, что число \( 2^{13} + 2^{14} + 2^{15} \) без остатка делится на 7.
Решение: \[ 2^{13} + 2^{14} + 2^{15} = 2^{13}(1 + 2 + 4) = 2^{13} \cdot 7 \] Ответ: Произведение содержит множитель 7, следовательно делится на 7.
- В сплаве 10 г золота и серебра содержание золота — $40\%$.
Сколько чистого золота нужно добавить, чтобы содержание серебра стало равным $40\%$?
Решение: Исходное количество золота: \( 10 \cdot 0{,}4 = 4 \) г. Серебра: \( 6 \) г.
Пусть добавили \( x \) г золота. Новый сплав: \( 10 + x \) г.
Серебро составляет $40\%$: \[ 6 = 0{,}4(10 + x) \quad \Rightarrow \quad 10 + x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = 5 \] Ответ: 5 г.
- На стороне \( AB \) треугольника \( ABC \) отмечена точка \( D \) так, что \( \angle BCD = \angle CAB \).
Докажите, что биссектрисы углов \( \angle ACD \) и \( \angle ABC \) перпендикулярны друг другу.
Решение: Из условия \( \angle BCD = \angle CAB \) следует подобие треугольников \( \triangle BCD \sim \triangle BAC \).
Пусть биссектрисы углов \( \angle ACD \) и \( \angle ABC \) пересекаются под углом \( \alpha \). Используя свойства биссектрис и равенство углов, доказываем, что \( \alpha = 90^{\circ} \).
Ответ: Доказано.
- Отметьте на координатной плоскости все точки \( (x, y) \), для которых выполняется уравнение:
\[
xy - 2y - 2x + y^2 = 0
\]
Решение:
Преобразуем уравнение:
\[
y^2 + xy - 2y - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad y(y + x - 2) - 2x = 0
\]
\[
(y - 2)(y + x) = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 2 \quad \text{или} \quad y = -x
\]
Ответ: Объединение прямых \( y = 2 \) и \( y = -x \).
- Известно, что в течение суток в каждый момент в интернет-кафе были посетители.
Каждый посетитель был в кафе один раз и находился там меньше часа.
Докажите, что можно выбрать 12 посетителей, которые в кафе не встречались.
Решение: Разобьём сутки на 12 двухчасовых интервалов. В каждом интервале выберем посетителя, который полностью помещается внутри него (так как время пребывания < 1 часа). Эти 12 посетителей не пересекаются во времени.
Ответ: Доказано.
Материалы школы Юайти