Гимназия №1543 из 4 в 5 класс 2023 вариант 1

1. Вычислите: \[ 605 - 476 \;\cdot\; 402 : 469. \]
   
   
2. На расстоянии 120 м друг от друга растут ёлка и берёза. Заяц и Ёж одновременно бежали навстречу друг другу: заяц от берёзы до елки, Ёж от ёлки до берёзы. Они встретились через 15 с после старта, а ещё через 9 с заяц добежал до ёлки. За сколько секунд Ёж добежит от места встречи до берёзы?
   
   
3. На полу квадратной комнаты лежит прямоугольный ковёр. Расстояние от стен до ковра — 50 см, 60 см, 70 см и 1 м. Периметр ковра 12 м. Найдите сторону комнаты.
   
   
4. Перемножили два числа. Первый множитель в 12 раз меньше произведения, а второй множитель в 4 раза меньше первого. Чему равно произведение?
   
   
5. На ёлке висят 43 украшения: шарики, пряники и шишки. Шариков в 5 раз больше, чем пряников. Шишек меньше, чем шариков. Сколько шишек может висеть на ёлке? Найдите все возможные ответы и запишите через запятую.
   
   
6. Катя написала на доске трёхзначное число, а потом дописала в конце цифру 3. Если теперь из получившегося четырёхзначного числа стереть первую цифру, останется ровно половина исходного трёхзначного числа. Какое число написала Катя в начале?
   
   
7. Штрих‑код состоит из чередующихся чёрных и белых полосок. Крайние полоски — чёрные. Чёрные полоски бывают двух видов: узкие и широкие. Белых полосок на 9 больше, чем широких чёрных, и на 3 больше, чем узких чёрных. Сколько чёрных и сколько белых полосок на штрих‑коде?
   
   
8. Надо коробку размером \(9\times11\times3\) заполнить кубиками двух типов: \(2\times2\times2\) и \(1\times1\times1\) так, чтобы не было пустого места, и общее количество кубиков оказалось наименьшим. Сколько потребуется кубиков?

Решения задач

1. Вычислите: \[ 605 - 476 \cdot 402 : 469. \]
2. Решение:
   Упростим выражение: \[ 476 \div 469 = \frac{68}{67}. \] Заменяем умножение и деление: \[ 476 \cdot 402 : 469 = \frac{68 \cdot 402}{67} = \frac{68 \cdot 6 \cdot 67}{67} = 408. \] Тогда: \[ 605 - 408 = 197. \] Ответ: 197.
   
   
3. На расстоянии 120 м друг от друга растут ёлка и берёза. Заяц и Ёж одновременно бежали навстречу друг другу. Они встретились через 15 с после старта, а ещё через 9 с заяц добежал до ёлки. За какое время Ёж добежит от места встречи до берёзы?
   Решение:
   Путь зайца после встречи до ёлки равен: \[ v_{зайца} = \frac{S}{15} \Rightarrow \text{после встречи:} \quad S_1 = v_{зайца} \cdot 9 = \frac{S}{15} \cdot 9 = \frac{3S}{5}. \] Общий путь зайца: \[ S + \frac{3S}{5} = 120 \Rightarrow S = 75 \text{ м}. \] Скорость зайца: \[ v_{зайца} = \frac{75}{15} = 5 \text{ м/с}. \] Ёж пробежал до встречи: \[ 120 - 75 = 45 \text{ м} \Rightarrow v_{ежа} = \frac{45}{15} = 3 \text{ м/с}. \] Время Ёжа на оставшийся путь: \[ \frac{45}{3} = 15 \text{ с}. \] Ответ: 15 с.
   
   
4. На полу квадратной комнаты лежит прямоугольный ковёр. Расстояния от стен до ковра — 50 см, 60 см, 70 см и 1 м. Периметр ковра 12 м. Найдите сторону комнаты.
   Решение:
   Размеры ковра:
   Ширина: \(A - (50 + 60) = A - 110\) см,
   Длина: \(A - (70 + 100) = A - 170\) см,
   Периметр ковра: \[ 2(A-110 + A-170) = 1200 \Rightarrow 4A - 560 = 1200 \Rightarrow A = 440 \text{ см}. \] Ответ: 4,4 м.
   
   
5. Перемножили два числа. Первый множитель в 12 раз меньше произведения, а второй множитель в 4 раза меньше первого. Чему равно произведение?
   Решение:
   Пусть произведение \(P\), первый множитель: \[ \frac{P}{12}, \quad \text{второй:} \quad \frac{P}{48}. \] Тогда: \[ \frac{P}{12} \cdot \frac{P}{48} = P \Rightarrow P^2 = 576P \Rightarrow P = 576. \] Ответ: 576.
   
   
6. На ёлке висят 43 украшения: шарики, пряники и шишки. Шариков в 5 раз больше, чем пряников. Шишек меньше, чем шариков. Сколько шишек может висеть на ёлке?
   Решение:
   Пусть пряников \(n\), шариков \(5n\).
   Уравнение: \[ 6n + ш = 43 \Rightarrow ш = 43 - 6n. \] Условие \(ш < 5n\): \[ 43 - 6n \frac{43}{11} \Rightarrow n \geq 4. \] Проверка:
   • \(n=4\): \(ш=19\)
   • \(n=5\): \(ш=13\)
   • \(n=6\): \(ш=7\)
   • \(n=7\): \(ш=1\)
   Ответ: 1, 7, 13, 19.
   
   
7. Катя написала на доске трёхзначное число, затем дописала цифру 3. Стерев первую цифру, получила половину исходного числа. Какое число написала Катя?
   Решение:
   Пусть исходное число \(ABC\), четырёхзначное число \(ABC3\). После стирания: \[ BC3 = \frac{100A + 10B + C}{2}. \] Уравнение: \[ 100B + 10C + 3 = \frac{100A + 10B + C}{2} \Rightarrow 190B + 19C + 6 = 100A. \] Решая, получаем \(A=5\), \(B=2\), \(C=6\). Ответ: 526.
   
   
8. Штрих-код содержит чёрные (узкие, широкие) и белые полоски. Белых на 9 больше, чем широких чёрных и на 3 больше, чем узких. Сколько полосок?
   Решение:
   Система уравнений: \[ \begin{cases} Б = Ш + 9 \\ Б = У + 3 \\ Б = Ч -1 \quad (Ч = У + Ш) \end{cases} \] Решая, получаем: \(Ш = 4\), \(У = 10\), \(Б = 13\).
   Ответ: 14 чёрных, 13 белых.
   
   
9. Коробку \(9 \times 11 \times 3\) заполнить кубиками \(2 \times 2 \times 2\) и \(1 \times 1 \times 1\) минимальным количеством.
   Решение:
   Максимальное количество кубиков \(2 \times 2 \times 2\):
   \(4 \cdot 5 \cdot 1 = 20\) кубиков, занимающих \(160\) см³.
   Общий объём коробки \(297\) см³.
   Остаток заполняем кубиками \(1 \times 1 \times 1\): \(297 - 160 = 137\).
   Общее количество: \(20 + 137 = 157\).
   Ответ: 157.