Гимназия №1543 из 4 в 5 класс 2022 год вариант 1

1. Вычислите: \[ 806129 - 341712 : 378 \;\times\; 560. \]
   
   
2. Решите задачу с пояснениями:
   В мешке у Деда Мороза лежат куклы и машинки. Среди машинок треть — легковые, остальные — грузовики. Всего игрушек 135, что составляет $\tfrac15$ всех игрушек. Сколько грузовиков в мешке?
   
   
3. Решите задачу с пояснениями:
   В 12:00 навстречу друг другу вышли Аня из пункта A и Боря из пункта B. Встретив Борю, Аня сразу повернула назад и в 12:40 вернулась в A. Боря дошёл до A на 10 мин позже. Аня ходит со скоростью 90 м/мин. Найдите расстояние от A до B.
   
   
4. Решите задачу с пояснениями:
   У синего прямоугольника длина на 6 см меньше, чем у красного, зато ширина в 3 раза больше. Периметр красного прямоугольника 108 см, синего — 172 см. Найдите площадь красного прямоугольника.
   
   
5. В классе 28 человек. Каждый получил за четверть по математике одну из оценок «3», «4» или «5». Сумма всех оценок 120. На сколько больше было пятёрок, чем троек?
   
   
6. Маша начертила таблицу \(3\times3\) и в каком‑то порядке заполнила её числами. Всякий раз число, которое Маша писала в очередной клетке, равнялось количеству соседних по стороне клеток, уже заполненных ранее. Справа показана итоговая таблица:
   
   Обведите кружком число, которое Маша написала последним.
   
   
7. Вставьте в квадратики числа \(1,2,\dots,15\) так, чтобы все семь уравнений были верны. Каждое число можно написать один раз; останется одно «лишнее» число. \[ \begin{array}{cccccc} \square - \square = 1, & \square - \square = 2, & \square - \square = 3, & \square - \square = 4,\\ \square - \square = 5, & \square - \square = 6, & \square - \square = 7, &\text{— лишнее число.} \end{array} \]
   
   
8. Верёвочку сложили пополам, затем ещё раз пополам, а потом все слои разрезали в каком‑то месте. Какими могли быть длины получившихся кусков, если известно, что среди них есть куски длиной 12 см и 20 см? Перечислите все возможные наборы длин.

Решения задач

1. Вычислите: \[ 806129 - 341712 : 378 \times 560. \] Решение: Выполним действия в порядке операций:
   $341712 : 378 = 904$
   $904 \times 560 = 506240$
   $806129 - 506240 = 299889$
   Ответ: 299889.
   
   
2. В мешке у Деда Мороза лежат куклы и машинки. Среди машинок треть — легковые, остальные — грузовики. Всего игрушек 135, что составляет $\tfrac{1}{5}$ всех игрушек. Сколько грузовиков в мешке?
   Решение: Всего машинок и кукол — 135. Это соответствует $\tfrac{1}{5}$ всех игрушек Деда Мороза, поэтому всего игрушек у Деда:
   $135 \times 5 = 675$.
   Среди машинок $\tfrac{2}{3}$ — грузовики. Пусть машинок в мешке $M$, тогда:
   Грузовиков: $\tfrac{2}{3}M$.
   Кукол: $135 - M$.
   Поскольку $M$ должно делиться на 3 для целочисленности, подходит $M = 81$:
   Грузовики: $\tfrac{2}{3} \times 81 = 54$.
   Ответ: 54.
   
   
3. Аня и Боря вышли навстречу друг другу из пунктов A и B. Аня вернулась в A через 40 минут после старта. Боря дошёл до A на 10 минут позже Ани. Скорость Ани 90 м/мин. Найдите расстояние между A и B.
   Решение: Пусть расстояние между пунктами - $S$. Встреча произошла через $t$ минут после старта. Аня прошла до встречи $90t$ м, после встречи вернулась за $40 - t$ минут:
   $90t = 90 \times (40 - t) \Rightarrow t = 20$ мин.
   Скорость Бори:
   $(S - 90 \times 20)/20 = (S - 1800)/20$.
   Боря прошёл оставшиеся $1800$ м за $30$ мин:
   $(S - 1800)/20 \times 30 = 1800 \Rightarrow S = 3000$ м.
   Ответ: 3000 м.
   
   
4. Синий прямоугольник имеет длину на 6 см меньше красного и ширину в 3 раза больше. Периметры: красный — 108 см, синий — 172 см. Найдите площадь красного прямоугольника.
   Решение: Пусть длина красного — $L$, ширина — $W$.
   Периметр красного: $2(L + W) = 108 \Rightarrow L + W = 54 \Rightarrow W = 54 - L$.
   Синий прямоугольник: длина $L - 6$, ширина $3W$.
   Периметр синего: $2\cdot(L - 6 + 3W) = 172 \Rightarrow L - 6 + 3(54 - L) = 86 \Rightarrow L = 35$ см, $W = 19$ см.
   Площадь красного: $35 \times 19 = 665$ см$^2$.
   Ответ: 665 см$^{2}$.
   
   
5. В классе 28 человек. Сумма оценок — 120. На сколько пятёрок больше троек?
   Решение: Пусть троек — $x$, четвёрок — $y$, пятёрок — $z$.
   $\begin{cases} x + y + z = 28 \\ 3x + 4y + 5z = 120 \end{cases}$
   Вычтем уравнение:
   $(4y + 3x + 5z) - 3(x + y + z) = 120 - 84 \Rightarrow y + 2z = 36$.
   Из первого: $y = 36 - 2z$, тогда $x = z - 8$.
   Разница пятёрок и троек: $z - x = 8$.
   Ответ: на 8.
   
   
6. Обведите число, написанное последним. Решение: Последней Маша заполнила центральную клетку с числом 4, так как оно окружено четырьмя уже заполненными соседями.
   Ответ: $\boxed{4}$.
   
   
7. Вставьте числа 1…15 в уравнения так, чтобы осталось одно лишнее. Пример решения:
   $$\begin{aligned} 15 - 8 &= 7, & 14 - 8 &= 6, \\ 13 - 8 &= 5, & 12 - 8 &= 4, \\ 9 - 6 &= 3, & 5 - 3 &= 2, \\ 2 - 1 &= 1. \end{aligned}$$ Лишнее число: 10. $\newline$ Ответ: Лишнее число – 10.
   
   
8. Верёвочку длиной 32 см сложили дважды и разрезали. Получили куски 12 см и 20 см. Возможные наборы длин: $\newline$ $\boxed{12\ \text{см},\ 20\ \text{см}}$.