Гимназия №1543 из 4 в 5 класс 2021 год вариант 1

ЛИЦЕЙ №1543

2021 год

1. Вычислите: \( 1658 \cdot 79 + 79 \cdot 362 \)
   
   
2. Решите задачу с пояснениями. Требуется изготовить 480 деталей. На пяти одинаковых старых станках это можно сделать за сутки непрерывной работы. На одном старом и одном новом — за двое суток. За сколько часов можно изготовить 480 деталей на двух новых станках?
   
   
3. Решите задачу с пояснениями. Прямоугольный торт разрезали на два куска: прямоугольный для Карлсона и квадратный для Малыша. Кусок Малыша имеет площадь на 6 см² меньше, чем у Карлсона, а периметр — на 4 см меньше. Найдите площадь торта.
   
   
4. Решите задачу с пояснениями. Пёс бегает в 2 раза быстрее Кота и в 4 раза быстрее Осла. Все трое одновременно побежали от дворца к цветочной поляне. Пёс оказался на поляне на 10 минут раньше Кота. А на сколько минут Пёс опередил Осла?
   
   
5. Решите задачу с пояснениями. Воробьи сидели в ряд на проводе. Прилетели стрижи и сели по одному между каждыми двумя соседними воробьями. Потом прилетели ласточки и уселись по две между каждыми соседними воробьём и стрижом. Теперь на проводе 1543 птицы. Сколько среди них воробьёв?
   
   
6. Решите задачу и дайте только ответ (пояснения не нужны). Используя все девять карточек, составьте верный пример на сложение.
   
   
   
7. Решите задачу и дайте только ответ (пояснения не нужны). Начертите шесть отрезков так, чтобы каждый пересекал ровно два других.

Решения задач

1. Вычислите: \( 1658 \cdot 79 + 79 \cdot 362 \)
   Решение: Вынесем общий множитель 79 за скобки:
   \(79 \cdot (1658 + 362) = 79 \cdot 2020 = 79 \cdot (2000 + 20) = 79 \cdot 2000 + 79 \cdot 20 = 158000 + 1580 = 159580\)
   Ответ: 159580.
   
   
2. Решите задачу с пояснениями. Требуется изготовить 480 деталей. На пяти одинаковых старых станках это можно сделать за сутки непрерывной работы. На одном старом и одном новом — за двое суток. За сколько часов можно изготовить 480 деталей на двух новых станках?
   Решение: Производительность пяти старых станков:
   \( \frac{480}{24} = 20 \) дет./час ⇒ один старый станок: \( \frac{20}{5} = 4 \) дет./час.
   Производительность старого и нового станка за 48 часов:
   \( \frac{480}{48} = 10 \) дет./час ⇒ новый станок: \( 10 - 4 = 6 \) дет./час.
   Два новых станка: \( 6 \cdot 2 = 12 \) дет./час ⇒ время: \( \frac{480}{12} = 40 \) часов.
   Ответ: 40.
   
   
3. Решите задачу с пояснениями. Прямоугольный торт разрезали на два куска: прямоугольный для Карлсона и квадратный для Малыша. Кусок Малыша имеет площадь на 6 см² меньше, чем у Карлсона, а периметр — на 4 см меньше. Найдите площадь торта.
   Решение: Пусть сторона квадрата Малыша \( x \) см ⇒ площадь \( x^2 \), периметр \( 4x \).
   Площадь Карлсона: \( x^2 + 6 \), периметр: \( 4x + 4 \).
   Пусть размеры прямоугольника Карлсона \( a \times b \):
   \( ab = x^2 + 6 \), \( 2(a + b) = 4x + 4 ⇒ a + b = 2x + 2 \).
   Решая систему \( a + b = 2x + 2 \), \( ab = x^2 + 6 \), находим \( x = 3 \).
   Общая площадь: \( x^2 + (x^2 + 6) = 9 + 15 = 24 \) см².
   Ответ: 24.
   
   
4. Решите задачу с пояснениями. Пёс бегает в 2 раза быстрее Кота и в 4 раза быстрее Осла. Все трое одновременно побежали от дворца к цветочной поляне. Пёс оказался на поляне на 10 минут раньше Кота. А на сколько минут Пёс опередил Осла?
   Решение: Пусть скорость Пса \( V \), тогда Кота \( \frac{V}{2} \), Осла \( \frac{V}{4} \).
   Время Пса \( \frac{S}{V} \), Кота \( \frac{2S}{V} \). Разница: \( \frac{2S}{V} - \frac{S}{V} = \frac{S}{V} = 10 \) мин.
   Время Осла: \( \frac{4S}{V} = 4 \cdot 10 = 40 \) мин ⇒ разница: \( 40 - 10 = 30 \) мин.
   Ответ: 30.
   
   
5. Решите задачу с пояснениями. Воробьи сидели в ряд на проводе. Прилетели стрижи и сели по одному между каждыми двумя соседними воробьями. Потом прилетели ласточки и уселись по две между каждыми соседними воробьём и стрижом. Теперь на проводе 1543 птицы. Сколько среди них воробьёв?
   Решение: Пусть изначально \( N \) воробьёв ⇒ \( N - 1 \) стрижей.
   После добавления ласточек: между \( N + (N - 1) = 2N - 1 \) птицами образуется \( 2N - 2 \) промежутков ⇒ ласточек: \( 2 \cdot (2N - 2) \).
   Уравнение: \( N + (N - 1) + 2(2N - 2) = 1543 ⇒ 6N - 5 = 1543 ⇒ N = 258 \).
   Ответ: 258.
   
   
6. Решите задачу и дайте только ответ (пояснения не нужны). Используя все девять карточек, составьте верный пример на сложение.
   Ответ: \( 123 + 456 = 579 \).
   
   
7. Решите задачу и дайте только ответ (пояснения не нужны). Начертите шесть отрезков так, чтобы каждый пересекал ровно два других.
   Ответ: Два пересекающихся треугольника (гексаграмма).