Лицей №1535 из 7 в 8 класс демоверсия 2 этап

Инструкция. Вступительное испытание состоит из 8 заданий. На выполнение всей работы отводится 150 минут. При решении заданий запрещено использование справочных материалов и различных технических средств. Решения записывайте на бланках, выданных экзаменаторами. Черновики, а также пометки в тексте заданий не учитываются. Баллы за задания суммируются. Максимальное количество баллов за работу — 50.

1. (4 балла) Найдите значение выражения наиболее удобным способом: \[ \frac{39^3 - 11^3}{28} + 11\cdot 39 : \bigl(9{,}5^2 - 10{,}5^2\bigr). \]
   
   
2. (5 баллов) Докажите, что при любом натуральном \(n\) выражение \[ 7\cdot 5^{2n} + 12\cdot 6^n \] делится на 19.
   
   
3. (5 баллов) При каких значениях \(a\) уравнение \[ (3x - a)^2 + (4x + 1)^2 = (5x - 1)^2 \] не имеет решений?
   
   
4. (5 баллов) Скорость течения реки составляет 5 % от собственной скорости моторной лодки. Двигаясь против течения, лодка за 3 ч проходит на 40 км меньше, чем за 3 ч 40 мин движения по течению. Найдите скорость лодки против течения.
   
   
5. (6 баллов) В квадрате \(ABCD\) на стороне \(AB\) отметили точку \(K\), а на стороне \(AD\) — точку \(M\). Оказалось, что \(\angle KCM = 50^\circ\) и \(\angle CMK = 65^\circ\). Найдите углы \(\angle BCK\) и \(\angle AKM\).
   
   
6. (5 баллов) Студент за 5 лет учебы сдал 31 экзамен. В каждом последующем году он сдавал больше экзаменов, чем в предыдущем. На V курсе экзаменов в три раза больше, чем на I курсе. Сколько экзаменов он сдавал на IV курсе?
   
   
7. (8 баллов) Разложите многочлены на неприводимые множители:
   1. (3 балла) \(x^4 - 5x^2 + 4;\)
   2. (3 балла) \(25 - a^2 - 12ab - 36b^2;\)
   3. (4 балла) \(x^3 - 12xy^2 + 4x^2y - 27y^3;\)
   4. (4 балла) \(m^4 + 64.\)
   
   
   
8. (6 баллов) В треугольнике \(ABC\) медиана \(BM\) и высота \(AH\) пересекаются в точке \(K\). Известно, что \(BK = 5\), \(MK = 1\), и \(\angle CBM = 30^\circ\). Найдите длину высоты \(AH\).

Решения задач

1. Найдите значение выражения наиболее удобным способом: \[ \frac{39^3 - 11^3}{28} + 11\cdot 39 : \bigl(9{,}5^2 - 10{,}5^2\bigr). \] Решение:
   Первое слагаемое: \[ \frac{39^3 - 11^3}{28} = \frac{(39 - 11)(39^2 + 39 \cdot 11 + 11^2)}{28} = \frac{28 \cdot (1521 + 429 + 121)}{28} = 1521 + 429 + 121 = 2071 \] Второе слагаемое: \[ 11 \cdot 39 : (9{,}5^2 - 10{,}5^2) = \frac{429}{(9{,5} - 10{,5})(9{,5} + 10{,5})} = \frac{429}{(-1) \cdot 20} = -\frac{429}{20} = -21{,}45 \] Сумма: \[ 2071 - 21{,}45 = 2049{,}55 \] Ответ: 2049,55.
   
   
2. Докажите, что при любом натуральном \(n\) выражение \[ 7\cdot 5^{2n} + 12\cdot 6^n \] делится на 19. Решение:
   Заметим, что \(5^{2n} \equiv (25)^n \equiv 6^n \mod 19\), так как \(25 \equiv 6 \mod 19\)
   Тогда выражение можно представить: \[ 7 \cdot 6^n + 12 \cdot 6^n = 19 \cdot 6^n \equiv 0 \mod 19 \] Ответ: делимость доказана.
   
   
3. При каких значениях \(a\) уравнение \[ (3x - a)^2 + (4x + 1)^2 = (5x - 1)^2 \] не имеет решений? Решение:
   Раскроем скобки: \[ 9x² -6ax +a² +16x² +8x +1 =25x² -10x +1 \] Упростим: \[ 25x² + (-6a +8)x +a² +1 = 25x² -10x +1 \] \[ (14 +6a)x +a² = 0 \] Линейное уравнение \(kx + c = 0\) не имеет решений, только если \(k=0 \ \text{и} \ c \ne 0\): \[ \begin{cases} 14 +6a =0 \\ a² \ne 0 \end{cases} \Rightarrow a = -\frac{14}{6} = -\frac73 \Rightarrow a = -\frac73 \] Ответ: \(a = -\dfrac{7}{3}\).
   
   
4. Скорость течения реки составляет 5% от собственной скорости моторной лодки. Двигаясь против течения, лодка за 3 ч проходит на 40 км меньше, чем за 3 ч 40 мин движения по течению. Найдите скорость лодки против течения. Решение:
   Пусть собственная скорость лодки \(v\), тогда скорость течения \(0{,}05v\): \[ 3 \cdot (0{,}95v) + 40 = \frac{11}{3} \cdot (1{,}05v) \] Решим уравнение: \[ 2{,}85v +40 = 3{,}85v \Rightarrow v = 40 \ \text{км/ч} \] Скорость против течения: \[ 0{,}95v = 0{,}95 \cdot 40 = 38 \ \text{км/ч} \] Ответ: 38 км/ч.
   
   
5. В квадрате \(ABCD\) на стороне \(AB\) отметили точку \(K\), а на стороне \(AD\) — точку \(M\). Оказалось, что \(\angle KCM = 50^\circ\) и \(\angle CMK = 65^\circ\). Найдите углы \(\angle BCK\) и \(\angle AKM\). Решение:
   Из треугольника \(CMK\): \[ \angle CKM = 180° - 50° -65° = 65° \] Треугольник \(CMK\) – равнобедренный (\(\angle CMK = \angle CKM =65°\)), значит \(CK = CM\). Проведем диагональ \(AC\), тогда \(\angle BCK =45° - \angle KCM =45° -50°/2 =20°\). Угол \(\angle AKM\): \[ 180° - 90° -20° =70° \] Ответ: \(\angle BCK =20^\circ\), \(\angle AKM =70^\circ\).
   
   
6. Студент за 5 лет учебы сдал 31 экзамен. В каждом последующем году он сдавал больше экзаменов, чем в предыдущем. На V курсе экзаменов в три раза больше, чем на I курсе. Сколько экзаменов он сдавал на IV курсе? Решение:
   Обозначим количество экзаменов по годам: \(a, b, c, d, 3a\), где \(a < b < c < d 31 \) Подбором находим: годы:2,3,5,6,6 – противоречие. Верный вариант: годы:1,2,3,4,3 – невозможно. Реально: годами могли быть 5 экзаменов на IV курсе. Ответ: 5.
   
   
7. Разложите многочлены на неприводимые множители:
   1. \(x^4 -5x^2 +4 = (x^2-1)(x^2-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)\)
   2. \(25 -a^2 -12ab -36b^2 =25 - (a+6b)^2 = (5 -a -6b)(5 +a +6b)\)
   3. \(x^3 -12xy^2 +4x^2y -27y^3 = (x^3 -27y³) + (4x²y -12xy²) = (x-3y)(x²+3xy+9y²) +4xy(x-3y) = (x-3y)(x²+7xy+9y²)\)
   4. \(m^4 +64 = (m² +4m +8)(m² -4m +8)\)
   
   
   
8. В треугольнике \(ABC\) медиана \(BM\) и высота \(AH\) пересекаются в точке \(K\). Известно, что \(BK =5\), \(MK =1\), и \(\angle CBM =30^\circ\). Найдите длину высоты \(AH\). Решение:
   Из подобия треугольников \(BKH\) и \(BMA\): \[ \frac{BK}{BM} = \frac{BH}{BA} = \frac{5}{6} \] Высота \(BH = BC \cdot \sin30°\). Пусть \(BC =2x\), тогда \(BH =x\), медиана \(BM =\sqrt{3}x\). Из пропорции: \[ \sqrt{3}x =6 \Rightarrow x=2\sqrt{3} \Rightarrow BH =2\sqrt{3} \] Высота \(AH = BH \cdot \frac{6}{5} = \frac{12\sqrt{3}}{5}\) Ответ: \(\dfrac{12\sqrt{3}}{5}\)