Лицей №1535 из 7 в 8 класс демоверсия 1 этап

1. (3 балла) Найти значение выражения: \[ \Bigl(-5{,}17 : 1\tfrac{3}{4} + 1{,}67 : \tfrac{4}{7}\Bigr) \;\cdot\; \Bigl(-1\tfrac{3}{4}\Bigr). \]
   
   
2. (4 балла) Чему равен корень уравнения: \[ \frac{2x+3}{9} \;-\;\frac{x-1}{6} \;=\;\frac{x+1}{2} \;-\;\frac{x+7}{18}\;? \]
   
   
3. (4 балла) Чему равно значение выражения: \[ \frac{4^5 \,12}{3^{22}\cdot 5^{11}}? \]
   
   
4. (4 балла) Значение переменной \(x\) таково, что \[ x^2 - 7x = 5. \] Чему равно значение выражения \[ x^4 - 7x^3 - 35x - 1\;? \]
   
   
5. (3 балла) Через первую трубу бассейн можно наполнить за 3 ч, через вторую — за 6 ч. Сначала 2 ч была открыта первая труба, потом её закрыли и открыли вторую. За сколько часов бассейн был полностью наполнен?
   
   
6. (4 балла) В треугольнике \(ABC\) проведены медиана \(BM\) и высота \(BH\). Известно, что \(AH=57\) и \(BC=BM\). Найдите длину стороны \(AC\).
   
   
7. (5 баллов) Упростить выражение: \[ -\bigl(\tfrac12a^2b^2\bigr)^3\;\cdot\;(-2a^2c^3)^4\;\cdot\;(-bc^2)^5, \] приведя его к виду \[ A\,a^k b^n c^m, \] где \(A\) — числовой коэффициент, \(k,n,m\) — натуральные числа. В ответе запишите сумму \(A+k+n+m\).
   
   
8. (4 балла) Содержание соли в морской воде 5%. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы соль в полученном растворе составляла 3%?
   
   
9. (4 балла) В прямоугольном треугольнике \(MBC\) (\(\angle C=90^\circ\)) проведена высота \(CK\). Чему равен отрезок \(MK\), если \(MB=20\) см и \(BC=10\) см?
   
   
10. (4 балла) Найти значение выражения \[ a(a+3)(a-3)\;-\;(a+2)(a^2 - 2a + 4) \] при \(a = -\tfrac{2}{9}\).
    
    
11. (5 баллов) Поезд проходит расстояние от города \(A\) до города \(B\) за 10 ч 40 мин. Если бы скорость поезда была на 10 км/ч меньше, он прибыл бы в город \(B\) на 2 ч 8 мин позже. Найдите расстояние между городами.
    
    
12. (6 баллов) В треугольнике \(ABC\) проведена биссектриса \(BK\). Прямая \(KM\) параллельна \(BC\) и пересекает сторону \(AB\) в точке \(M\), \(\angle BMK = 124^\circ\). Найдите величину угла \(\angle MKB\).

Решения задач

1. Найти значение выражения: \[ \left(-5{,}17 : 1\tfrac{3}{4} + 1{,}67 : \tfrac{4}{7}\right) \cdot \left(-1\tfrac{3}{4}\right) \] Решение: Переведём смешанные числа в неправильные дроби: \[ 1\tfrac{3}{4} = \frac{7}{4}, \quad -1\tfrac{3}{4} = -\frac{7}{4} \] Выполним деление: \[ -5{,}17 : \frac{7}{4} = -5{,}17 \cdot \frac{4}{7} = -\frac{20{,}68}{7} = -2{,}96 \] \[ 1{,}67 : \frac{4}{7} = 1{,}67 \cdot \frac{7}{4} = \frac{11{,}69}{4} = 2{,}9225 \] Сложим результаты: \[ -2{,}96 + 2{,}9225 = -0{,}0375 \] Умножим на \(-\frac{7}{4}\): \[ -0{,}0375 \cdot \left(-\frac{7}{4}\right) = 0{,}065625 \] Ответ: \(0{,}065625\).
   
   
2. Решить уравнение: \[ \frac{2x + 3}{9} - \frac{x - 1}{6} = \frac{x + 1}{2} - \frac{x + 7}{18} \] Решение: Умножим обе части уравнения на 18: \[ 2(2x + 3) - 3(x - 1) = 9(x + 1) - (x + 7) \] Раскроем скобки: \[ 4x + 6 - 3x + 3 = 9x + 9 - x - 7 \] Упростим: \[ x + 9 = 8x + 2 \] Перенесём слагаемые: \[ 9 - 2 = 8x - x \quad \Rightarrow \quad 7 = 7x \quad \Rightarrow x = 1 \] Ответ: \(1\).
   
   
3. Упростить выражение: \[ \frac{4^5 \cdot 12}{3^{22} \cdot 5^{11}} \] Решение: Представим числа в виде степеней простых множителей: \[ 4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}, \quad 12 = 2^2 \cdot 3 \] Подставим в выражение: \[ \frac{2^{10} \cdot 2^2 \cdot 3}{3^{22} \cdot 5^{11}} = \frac{2^{12} \cdot 3}{3^{22} \cdot 5^{11}} \] Разделим степени: \[ 2^{12} \cdot 3^{1-22} \cdot 5^{-11} = 2^{12} \cdot 3^{-21} \cdot 5^{-11} = \frac{2^{12}}{3^{21} \cdot 5^{11}} \] Ответ: \(\frac{2^{12}}{3^{21} \cdot 5^{11}}\).
   
   
4. Найти значение выражения: \[ x^4 - 7x^3 - 35x - 1 \] при условии \(x^2 - 7x = 5\).
   
   Решение: Выразим \(x^2 = 7x + 5\). Возведём в квадрат: \[ x^4 = (x^2)^2 = (7x + 5)^2 = 49x^2 + 70x + 25 \] Подставим обратно: \[ x^4 - 7x^3 = 49x^2 + 70x + 25 - 7x(7x + 5) = 49x^2 + 70x + 25 - 49x^2 - 35x = 35x + 25 \] Тогда исходное выражение: \[ (35x + 25) - 35x - 1 = 24 \] Ответ: \(24\).
   
   
5. Решить задачу на заполнение бассейна: Производительность первой трубы: \(\frac{1}{3}\) бассейна/ч. За 2 часа заполнено: \(2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) бассейна. Осталось: \(1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\). Вторая труба заполняет за 6 часов, её производительность: \(\frac{1}{6}\) бассейна/ч. Время заполнения остатка: \(\frac{1}{3} : \frac{1}{6} = 2\) часа. Общее время: \(2 + 2 = 4\) часа. Ответ: \(4\) часа.
   
   
6. Геометрическая задача: Поскольку \(BC = BM\) и \(BM\) — медиана, то треугольник \(BMC\) равнобедренный. Высота \(BH\) делит \(AC\) пополам. Пусть \(AM = MC = x\). По условию \(AH = 57\), тогда \(AC = 2x = 57 \cdot 2 = 114\). Ответ: \(114\).
   
   
7. Упростить выражение: \[ -\left(\frac{1}{2}a^2b^2\right)^3 \cdot (-2a^2c^3)^4 \cdot (-bc^2)^5 \] Раскроем степени: \[ -\frac{1}{8}a^6b^6 \cdot 16a^8c^{12} \cdot (-b^5c^{10}) = \frac{1}{8} \cdot 16 \cdot (-1) \cdot (-1) a^{14}b^{11}c^{22} = 2a^{14}b^{11}c^{22} \] Сумма \(A + k + n + m = 2 + 14 + 11 + 22 = 49\). Ответ: \(49\).
   
   
8. Процентная задача: Соль в исходном растворе: \(30 \cdot 0{,}05 = 1{,}5\) кг. Новая концентрация: \(1{,}5 = 0{,}03(30 + x)\). Решаем уравнение: \[ 1{,}5 = 0{,}9 + 0{,}03x \quad \Rightarrow \quad 0{,}6 \cdot 100 = 3x \quad \Rightarrow \quad x = 20 \] Ответ: \(20\) кг.
   
   
9. Геометрическая задача: В прямоугольном треугольнике \(BC = 10\) см, \(MB = 20\) см. Найдём \(MC\) по теореме Пифагора: \[ MC = \sqrt{MB^2 - BC^2} = \sqrt{400 - 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \] Высота \(CK = \frac{BC \cdot MC}{MB} = \frac{10 \cdot 10\sqrt{3}}{20} = 5\sqrt{3}\). Тогда \(MK = \sqrt{MC^2 - CK^2} = \sqrt{300 - 75} = \sqrt{225} = 15\) см. Ответ: \(15\) см.
   
   
10. Упростить выражение: \[ a(a + 3)(a - 3) - (a + 2)(a^2 - 2a + 4) \] Раскроем скобки: \[ a(a^2 - 9) - (a^3 + 8) = a^3 - 9a - a^3 - 8 = -9a - 8 \] Подставим \(a = -\frac{2}{9}\): \[ -9 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) - 8 = 2 - 8 = -6 \] Ответ: \(-6\).
    
    
11. Задача на движение: Пусть скорость поезда \(v\) км/ч, расстояние \(S = v \cdot \frac{32}{3}\) часа. При скорости \(v - 10\) время: \(\frac{32}{3} + \frac{64}{30} = \frac{32 \cdot 10 + 64}{30} = \frac{384}{30} = 12{,}8\) часов. Уравнение: \[ S = (v - 10) \cdot 12{,}8 = v \cdot \frac{32}{3} \] Решаем: \[ (v - 10) \cdot 12{,}8 = \frac{32v}{3} \quad \Rightarrow \quad 38{,}4v - 128 = 32v \quad \Rightarrow \quad 6{,}4v = 128 \quad \Rightarrow \quad v = 20 \] Тогда \(S = 20 \cdot \frac{32}{3} = \frac{640}{3} \approx 213{,}33\) км. Ответ: \(213{,}33\) км.
    
    
12. Геометрическая задача с биссектрисой: Угол \(\angle BMK = 124^\circ\), сумма углов треугольника \(BMK\): \[ 180^\circ = 124^\circ + \angle BKM + \angle KBM \] Поскольку \(KM \parallel BC\), углы \(\angle KBM = \angle KBC\) (накрест лежащие). Биссектриса \(BK\) делит угол \(B\) пополам: \(\angle KBC = \frac{1}{2}\angle B\). Из треугольника \(BMK\): \[ \angle MKB = 180^\circ - 124^\circ - \frac{1}{2}\angle B \] После рассуждений получаем \(\angle MKB = 28^\circ\). Ответ: \(28^\circ\).