Лицей №1535 из 6 в 7 класс демоверсия 1 этап

1. (3 балла) Чему равно значение выражения \[ 20 - 18{,}6 \mathbin{:}\bigl(6^{\frac{11}{15}} - 4^{\frac{3}{5}}\bigr)? \]
   
   
2. (3 балла) Найти \(x\) из равенства \[ \frac{1}{6}x - 0{,}8 = \frac{3}{4}x - 1{,}5. \]
   
   
3. (3 балла) Сколько целых чисел \(a\) удовлетворяет условию \(\lvert a\rvert < 1535\)?
   
   
4. (3 балла) Деталь на чертеже, выполненном в масштабе \(1:5\), имеет длину \(2{,}1\) см. Какую длину будет иметь та же деталь на чертеже в масштабе \(3:1\)?
   
   
5. (3 балла) Шеснадцать рабочих за 10 дней могут уложить кабель длиной 1800 м. Какой длины кабель (в км) смогут уложить 32 рабочих за 15 дней?
   
   
6. (3 балла) При каких значениях \(y\) выражения \[ \frac{3{,}8 - y}{3{,}5} \quad\text{и}\quad \frac{3{,}6 - y}{11} \] будут равны?
   
   
7. (4 балла) Периметр прямоугольника равен 68 см, а его ширина и длина пропорциональны числам 6 и 11. Чему равна площадь квадрата, если его сторона равна ширине данного прямоугольника?
   
   
8. (4 балла) Луч \(AB\) разделил угол \(MAK\) на два угла \(\angle MAB\) и \(\angle BAK\). Градусная мера \(\angle BAK\) составляет \(\tfrac{3}{7}\) меры \(\angle MAB\). При этом \(\angle BAK\) на \(24^\circ\) меньше, чем \(\angle MAB\). Найдите градусную меру угла \(MAK\).
   
   
9. (5 баллов) Какие координаты будет иметь точка \(M\) отрезка \(AB\), если \(A(-5;\tfrac12)\), \(B(3;\tfrac12)\) и длина \(AM\) составляет \(\tfrac{3}{4}\) длины \(BM\)?
   
   
10. (4 балла) Если бабушка решит дать каждому внуку по 6 конфет, то ей не хватит 8 конфет, а если она даст по 4 конфеты, то у неё останется 6 конфет. Сколько конфет было у бабушки?
    
    
11. (5 баллов) За три дня турист прошёл 54 км. В первый день он прошёл на \(20\%\) больше, чем во второй, а в третий — половину пути, пройденного во второй день. Сколько километров он прошёл в первый день?
    
    
12. (5 баллов) У Вовы троек на \(60\%\) меньше, чем пятёрок. На сколько процентов у Вовы пятёрок больше, чем троек?
    
    
13. (5 баллов) Чему равно число, если \(40\%\) от его четверти составляет \(42\%\) от 75?

Решения задач

1. Вычислить значение выражения: \[ 20 - 18{,}6 \mathbin{:}\bigl(6^{\frac{11}{15}} - 4^{\frac{3}{5}}\bigr) \] Решение: \[ 6^{\frac{11}{15}} \approx 3{,}72,\quad 4^{\frac{3}{5}} \approx 2{,}297 \] \[ 6^{\frac{11}{15}} - 4^{\frac{3}{5}} \approx 3{,}72 - 2{,}297 = 1{,}423 \] \[ 18{,}6 : 1{,}423 \approx 13{,}07 \] \[ 20 - 13{,}07 = 6{,}93 \approx 7 \] Ответ: 7.
2. Найти \(x\) из равенства: \[ \frac{1}{6}x - 0{,}8 = \frac{3}{4}x - 1{,}5 \] Решение: \[ \frac{1}{6}x - 0{,}8 = \frac{3}{4}x - 1{,}5 \] \[ -0{,}8 + 1{,}5 = \frac{3}{4}x - \frac{1}{6}x \] \[ 0{,}7 = \frac{7}{12}x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{12}{7} \cdot 0{,}7 = 1{,}2 \] Ответ: $1{,}2$.
3. Сколько целых чисел \(a\) удовлетворяет условию \(\lvert a\rvert < 1535\)?
   Решение: \[ -1534 \leq a \leq 1534 \] Количество целых чисел: \[ 1534 \cdot 2 + 1 = 3069 \] Ответ: 3069.
4. Деталь на чертеже в масштабе \(1:5\) имеет длину \(2{,}1\)см. При масштабе \(3:1\) её длина будет: \[ 2{,}1 \cdot 5 \cdot 3 = 31{,}5 \text{ см} \] Ответ: $31{,}5\,см$.
5. Длина кабеля, который смогут уложить 32 рабочих за 15 дней:
   Решение: \[ \frac{1800 \cdot 32 \cdot 15}{16 \cdot 10} = 5400 \text{ м} = 5{,}4 \text{ км} \] Ответ: $5{,}4\,$км.
6. При каком \(y\) выражения равны? \[ \frac{3{,}8 - y}{3{,}5} = \frac{3{,}6 - y}{11} \] Решение: \[ 11(3{,}8 - y) = 3{,}5(3{,}6 - y) \] \[ 41{,}8 - 11y = 12{,}6 - 3{,}5y \] \[ 29{,}2 = 7{,}5y \quad \Rightarrow \quad y = \frac{29{,}2}{7{,}5} = 3{,}89 \] Ответ: $3{,}89$.
7. Площадь квадрата, если сторона равна ширине прямоугольника:
   Решение: \[ \text{Полупериметр} = 34 \text{ см},\quad 34 : (6 + 11) = 2 \text{ см/часть} \] \[ \text{Ширина} = 6 \cdot 2 = 12 \text{ см},\quad S = 12^2 = 144 \text{ см}^2 \] Ответ: $144\,см²$.
8. Градусная мера угла \(MAK\):
   Решение: \[ \angle MAB = x,\quad \angle BAK = \frac{3}{7}x \] \[ x - \frac{3}{7}x = 24^\circ \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{7}x = 24^\circ \quad \Rightarrow \quad x = 42^\circ \] \[ \angle MAK = 42^\circ + 18^\circ = 60^\circ \] Ответ: 60°.
9. Координаты точки \(M\):
   Решение: \[ AM : BM = 3 : 4,\quad AB = 8 \text{ единиц} \] \[ x_M = -5 + \frac{3}{7} \cdot 8 = -\frac{11}{7},\quad y_M = \frac{1}{2} \] Ответ: \( M\left(-\frac{11}{7};\,\frac{1}{2}\right) \).
10. Количество конфет у бабушки:
    Решение: \[ \begin{cases} 6x = y + 8 \\ 4x = y - 6 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x = 7,\quad y = 34 \] Ответ: 34.
11. Путь в первый день:
    Решение: \[ x \text{ (II день)},\quad 1{,}2x \text{ (I день)},\quad 0{,}5x \text{ (III день)} \] \[ 2{,}7x = 54 \quad \Rightarrow \quad x = 20 \quad \Rightarrow \quad 1{,}2x = 24 \text{ км} \] Ответ: $24\,км$.
12. На сколько процентов пятёрок больше:
    Решение: \[ t = 0{,}4p,\quad \frac{p - t}{t} \cdot 100% = \frac{0{,}6p}{0{,}4p} \cdot 100% = 150\% \] Ответ: $150\%$.
13. Искомое число:
    Решение: \[ 0{,}4 \cdot \frac{x}{4} = 0{,}42 \cdot 75 \quad \Rightarrow \quad 0{,}1x = 31{,}5 \quad \Rightarrow \quad x = 315 \] Ответ: 315.